Seja o espaço vetorial de todas as matrizes quadradas de ordem . Qual dos seguintes conjuntos de matrizes em são subespaços vetoriais de ? Justifique sua resposta.
(a) Todas as matrizes inversíveis.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o espaço vetorial que consiste em todas as matrizes quadradas de ordem . A pergunta é: será que o conjunto de todas as matrizes invertíveis ( inversíveis) dentro de forma um subespaço vetorial? Para resolver isso, precisamos lembrar o que define um subespaço vetorial e ver se esse conjunto cumpre todas as condições necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço de precisa satisfazer três condições:
  1. Contém a matriz zero.
  2. É fechado sob adição (se você somar duas matrizes do conjunto, o resultado também está no conjunto).
  3. É fechado sob multiplicação por escalar (se você multiplicar uma matriz do conjunto por um número qualquer, o resultado também está no conjunto).

Passo 3

Vamos verificar a primeira condição: se o conjunto de matrizes invertíveis contém a matriz zero. A matriz zero não é invertível porque não existe uma matriz que multiplicada por ela resulte na identidade. Portanto, já falhamos na primeira condição.

Passo 4

Mesmo que já tenhamos visto que a primeira condição não é atendida, vamos verificar as outras para entender melhor. Considere duas matrizes invertíveis e . A soma nem sempre é invertível. Por exemplo, se (a matriz identidade) e , então , que não é invertível. Portanto, o conjunto não é fechado sob adição.

Passo 5

Também, se multiplicarmos uma matriz invertível por zero, obtemos a matriz zero, que, como vimos, não é invertível. Portanto, o conjunto não é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Não, o conjunto de todas as matrizes invertíveis em não é um subespaço vetorial de , pois não contém a matriz zero e não é fechado nem sob adição nem sob multiplicação por escalares.

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