Seja
o espaço vetorial de todas as matrizes quadradas de ordem
. Qual dos seguintes conjuntos de matrizes em
são subespaços vetoriais de
? Justifique sua resposta.
(a) Todas as matrizes
inversíveis.
(a) Todas as matrizes
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o espaço vetorial
que consiste em todas as matrizes quadradas de ordem
. A pergunta é: será que o conjunto de todas as matrizes invertíveis (
inversíveis) dentro de
forma um subespaço vetorial? Para resolver isso, precisamos lembrar o que define um subespaço vetorial e ver se esse conjunto cumpre todas as condições necessárias.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço de
precisa satisfazer três condições:
- Contém a matriz zero.
- É fechado sob adição (se você somar duas matrizes do conjunto, o resultado também está no conjunto).
- É fechado sob multiplicação por escalar (se você multiplicar uma matriz do conjunto por um número qualquer, o resultado também está no conjunto).
Passo 3
Vamos verificar a primeira condição: se o conjunto de matrizes invertíveis contém a matriz zero. A matriz zero não é invertível porque não existe uma matriz que multiplicada por ela resulte na identidade. Portanto, já falhamos na primeira condição.
Passo 4
Mesmo que já tenhamos visto que a primeira condição não é atendida, vamos verificar as outras para entender melhor. Considere duas matrizes invertíveis
e
. A soma
nem sempre é invertível. Por exemplo, se
(a matriz identidade) e
, então
, que não é invertível. Portanto, o conjunto não é fechado sob adição.
Passo 5
Também, se multiplicarmos uma matriz invertível
por zero, obtemos a matriz zero, que, como vimos, não é invertível. Portanto, o conjunto não é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Não, o conjunto de todas as matrizes invertíveis em
não é um subespaço vetorial de
, pois não contém a matriz zero e não é fechado nem sob adição nem sob multiplicação por escalares.
Exercícios relacionados
Esboce o gráfico das seguintes equações:
.
Quais dos seguintes conjuntos
abaixo são subespaço de
? Justifique.
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Esboce o gráfico das seguintes equações:
.
Dê a equação da parábola de vértice
e reta diretriz
.