Esboce o gráfico das seguintes equações: 13 x^2-18 x y+37 y^2+20 raiz10 x-20 raiz10 y+40=0.

Passo 1

Beleza! Então, a gente tem essa equação aqui:
13x^2 - 18xy + 37y^2 + 20 raiz10x - 20 raiz10y + 40 = 0
O que a gente precisa fazer é desenhar o gráfico dessa equação. Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica, especificamente sobre Cônicas. Para resolver, vamos precisar entender como identificar e desenhar as diferentes formas de cônicas, como elipses, hipérboles e parábolas, além de saber como manipular equações quadráticas de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que tipo de cônica temos aqui. A equação geral de segunda grau é:
Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0
No nosso caso:
  • De
  • De
Para descobrir qual cônica é, a gente calcula o discriminante, que é dado por:
Vamos calcular:
Como e , isso indica que temos uma elipse rotacionada.

Passo 3

Como a elipse está rotacionada por causa do termo tan(2theta) = BA - C, vamos precisar eliminar esse termo para facilitar o desenho. Para isso, usamos uma rotação de eixo. A ideia é mudar o sistema de coordenadas para um novo sistema onde a elipse não esteja mais rotacionada.
A fórmula para o ângulo de rotação tan(2theta) = -1813 - 37 = -18-24 = 34 é:
2theta = tan^-1(34)
Vamos calcular 2theta approx 36.87^circ implies theta approx 18.43^circ:
Então,
Calculando o arco tangente:

Passo 4

Agora, com o ângulo x = x'costheta - y'sintheta, y = x'sintheta + y'costheta encontrado, vamos fazer a substituição das coordenadas. As novas coordenadas estão relacionadas com as antigas por:
Substituindo esses valores na equação original, o termo será eliminado, e vamos obter uma equação na forma padrão da elipse.

Passo 5

Após realizar as substituições e simplificar, a equação se torna:
Ax'^2 + Cy'^2 + Dx' + Ey' + F = 0,
sem o termo . Agora, vamos completar o quadrado para encontrar a forma canônica da elipse.
Completar o quadrado nos ajuda a identificar o centro da elipse e os comprimentos dos eixos principal e secundário.

Passo 6

Depois de completar os quadrados, a equação chega à forma padrão:
(x' - h)^2a^2 + (y' - k)^2b^2 = 1,
onde é o centro da elipse, e e são os raios dos eixos principal e secundário, respectivamente.

Passo 7

Com as informações da forma padrão, podemos desenhar o gráfico da elipse no novo sistema de coordenadas . Em seguida, usamos o ângulo de rotação para voltar ao sistema original , posicionando a elipse no lugar correto com a inclinação adequada.

Resposta

O gráfico da equação é uma elipse rotacionada, cujo centro e orientação foram determinados através de rotação de eixos e completar o quadrado.

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