Esboce o gráfico das seguintes equações:
.
Passo 1
Beleza! Então, a gente tem essa equação aqui:
O que a gente precisa fazer é desenhar o gráfico dessa equação. Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica, especificamente sobre Cônicas. Para resolver, vamos precisar entender como identificar e desenhar as diferentes formas de cônicas, como elipses, hipérboles e parábolas, além de saber como manipular equações quadráticas de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que tipo de cônica temos aqui. A equação geral de segunda grau é:
No nosso caso:
Para descobrir qual cônica é, a gente calcula o discriminante, que é dado por:
Vamos calcular:
Como
e
, isso indica que temos uma elipse rotacionada.
Passo 3
Como a elipse está rotacionada por causa do termo
, vamos precisar eliminar esse termo para facilitar o desenho. Para isso, usamos uma rotação de eixo. A ideia é mudar o sistema de coordenadas para um novo sistema onde a elipse não esteja mais rotacionada.
A fórmula para o ângulo de rotação
é:
Vamos calcular
:
Então,
Calculando o arco tangente:
Passo 4
Agora, com o ângulo
encontrado, vamos fazer a substituição das coordenadas. As novas coordenadas
estão relacionadas com as antigas
por:
Substituindo esses valores na equação original, o termo
será eliminado, e vamos obter uma equação na forma padrão da elipse.
Passo 5
Após realizar as substituições e simplificar, a equação se torna:
sem o termo
. Agora, vamos completar o quadrado para encontrar a forma canônica da elipse.
Completar o quadrado nos ajuda a identificar o centro da elipse e os comprimentos dos eixos principal e secundário.
Passo 6
Depois de completar os quadrados, a equação chega à forma padrão:
onde
é o centro da elipse, e
e
são os raios dos eixos principal e secundário, respectivamente.
Passo 7
Com as informações da forma padrão, podemos desenhar o gráfico da elipse no novo sistema de coordenadas
. Em seguida, usamos o ângulo de rotação
para voltar ao sistema original
, posicionando a elipse no lugar correto com a inclinação adequada.
Resposta
O gráfico da equação
é uma elipse rotacionada, cujo centro e orientação foram determinados através de rotação de eixos e completar o quadrado.
Exercícios relacionados
Seja
o espaço vetorial de todas as matrizes quadradas de ordem
. Qual dos seguintes conjuntos de matrizes em
são subespaços vetoriais de
? Justifique sua resposta.
(a) Todas as matrizes inversíveis.
(a) Todas as matrizes
Esboce o gráfico das seguintes equações:
.
Dê a equação da parábola de vértice
e reta diretriz
.
Obter uma base para
que contenha os vetores: