Esboce o gráfico das seguintes equações: .

Passo 1

Beleza! Então, a gente tem essa equação aqui:
O que a gente precisa fazer é desenhar o gráfico dessa equação. Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica, especificamente sobre Cônicas. Para resolver, vamos precisar entender como identificar e desenhar as diferentes formas de cônicas, como elipses, hipérboles e parábolas, além de saber como manipular equações quadráticas de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que tipo de cônica temos aqui. A equação geral de segunda grau é:
No nosso caso:
Para descobrir qual cônica é, a gente calcula o discriminante, que é dado por:
Vamos calcular:
Como e , isso indica que temos uma elipse rotacionada.

Passo 3

Como a elipse está rotacionada por causa do termo , vamos precisar eliminar esse termo para facilitar o desenho. Para isso, usamos uma rotação de eixo. A ideia é mudar o sistema de coordenadas para um novo sistema onde a elipse não esteja mais rotacionada.
A fórmula para o ângulo de rotação é:
Vamos calcular :
Então,
Calculando o arco tangente:

Passo 4

Agora, com o ângulo encontrado, vamos fazer a substituição das coordenadas. As novas coordenadas estão relacionadas com as antigas por:
Substituindo esses valores na equação original, o termo será eliminado, e vamos obter uma equação na forma padrão da elipse.

Passo 5

Após realizar as substituições e simplificar, a equação se torna:
sem o termo . Agora, vamos completar o quadrado para encontrar a forma canônica da elipse.
Completar o quadrado nos ajuda a identificar o centro da elipse e os comprimentos dos eixos principal e secundário.

Passo 6

Depois de completar os quadrados, a equação chega à forma padrão:
onde é o centro da elipse, e e são os raios dos eixos principal e secundário, respectivamente.

Passo 7

Com as informações da forma padrão, podemos desenhar o gráfico da elipse no novo sistema de coordenadas . Em seguida, usamos o ângulo de rotação para voltar ao sistema original , posicionando a elipse no lugar correto com a inclinação adequada.

Resposta

O gráfico da equação é uma elipse rotacionada, cujo centro e orientação foram determinados através de rotação de eixos e completar o quadrado.

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Seja o espaço vetorial de todas as matrizes quadradas de ordem . Qual dos seguintes conjuntos de matrizes em são subespaços vetoriais de ? Justifique sua resposta.
(a) Todas as matrizes inversíveis.
Esboce o gráfico das seguintes equações: .
Dê a equação da parábola de vértice e reta diretriz .
Obter uma base para que contenha os vetores: