Uma equação paramétrica do plano
(x, y, z) in R^3 ; 2 x+3 y-3 z=-5, onde s, t in R sano parâmetros, é:
(A) (-1,1,2)+t(-8,0,-2)+s(0,8,4)
(B) (1,-1, 133)+t(-6,0,-4)+s(0,-12,-12)
© (1,-1, 43)+t(-8,0,-2)+s(0,8,4)
(D) (1,-1, 133)+t(-9,0,-1)+s(0,7,5)
(E) (1,-1, 43)+t(-9,0,-1)+s(0,7,5)
(F) (-1,1,2)+t(-6,0,-4)+s(0,-12,-12)
(G) Não sei

Passo 1

Então, a gente tem uma equação que representa um plano no espaço tridimensional: . A gente precisa transformar essa equação em uma forma paramétrica, ou seja, expressar , e em função de dois parâmetros, que a gente vai chamar de e . Para isso, vamos precisar entender como passar da equação geral do plano para a forma paramétrica usando vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar um ponto que está no plano. Para isso, podemos escolher valores para dois das variáveis e resolver para a terceira. Vamos supor que 2(1) + 3(-1) - 3z = -5 e 2 - 3 - 3z = -5. Substituindo na equação:
-1 - 3z = -5
-3z = -4
z = 43
Então, um ponto no plano é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar dois vetores diretores que estão no plano. Esses vetores serão usados para construir a forma paramétrica. Para achar esses vetores, vamos escolher valores para os parâmetros x = 1 - 8t y = -1 + 8s z = 43 - 2t e x = 1 - 8(1) = -7 y = -1 + 8(0) = -1 z = 43 - 2(1) = 43 - 63 = -23 e resolver para as variáveis.
Vamos primeiro variar e deixar . Suponhamos que :
Como , temos:
Então, o primeiro vetor diretor é .

Passo 4

Agora, vamos variar x = 1 - 8(0) = 1 y = -1 + 8(1) = 7 z = 43 - 2(0) = 43 e deixar . Suponhamos que :
Então, o segundo vetor diretor é .

Passo 5

Com o ponto (1, -1, 43) + t(-8, 0, -2) + s(0, 8, 4) e os vetores diretores e , a forma paramétrica do plano fica:

Resposta

A resposta correta é a opção © .

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