Verificar se os conjuntos são subespaços :
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! O enunciado pede para verificar se o conjunto
é um subespaço de
. Aqui,
é o conjunto de todas as matrizes 2x2 com números reais. Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço e quais são as condições que ele precisa satisfazer.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço. Um subespaço de um espaço vetorial precisa cumprir três condições básicas:
- Contém o vetor zero: A matriz zero deve estar no conjunto
. - Fechado sob adição: Se duas matrizes estão em
, a soma delas também deve estar em . - Fechado sob multiplicação por escalar: Se uma matriz está em
, qualquer múltiplo dela por um número real também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto
.
Passo 3
1. Verificar se o conjunto contém a matriz zero:
A matriz zero em
é:
Vamos ver se ela satisfaz a condição
.
Aqui,
,
, e
. Então:
Portanto, a matriz zero está em
.
Passo 4
2. Verificar se o conjunto é fechado sob adição:
Vamos pegar duas matrizes quaisquer em
:
Como
e
estão em
, elas satisfazem:
Vamos somá-las:
Precisamos verificar se
:
Isso mostra que
também está em
, então o conjunto é fechado sob adição.
Passo 5
3. Verificar se o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar uma matriz
em
e um escalar
:
Multiplicando
por
:
Precisamos verificar se
:
Então,
também está em
, o que mostra que o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como o conjunto
contém a matriz zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, podemos concluir que
é de fato um subespaço de
.
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com o plano
.
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e
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e
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.
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.
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, onde
sano parâmetros, é:
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G) Não sei
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G) Não sei