Verificar se os conjuntos são subespaços :
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! O enunciado pede para verificar se o conjunto é um subespaço de . Aqui, é o conjunto de todas as matrizes 2x2 com números reais. Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço e quais são as condições que ele precisa satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço. Um subespaço de um espaço vetorial precisa cumprir três condições básicas:
  1. Contém o vetor zero: A matriz zero deve estar no conjunto .
  2. Fechado sob adição: Se duas matrizes estão em , a soma delas também deve estar em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se uma matriz está em , qualquer múltiplo dela por um número real também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto .

Passo 3

1. Verificar se o conjunto contém a matriz zero:
A matriz zero em é:
Vamos ver se ela satisfaz a condição .
Aqui, , , e . Então:
Portanto, a matriz zero está em .

Passo 4

2. Verificar se o conjunto é fechado sob adição:
Vamos pegar duas matrizes quaisquer em :
Como e estão em , elas satisfazem:
Vamos somá-las:
Precisamos verificar se :
Isso mostra que também está em , então o conjunto é fechado sob adição.

Passo 5

3. Verificar se o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar uma matriz em e um escalar :
Multiplicando por :
Precisamos verificar se :
Então, também está em , o que mostra que o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como o conjunto contém a matriz zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, podemos concluir que é de fato um subespaço de .

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, onde sano parâmetros, é:
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G) Não sei