Verificar se os conjuntos são subespaços :
W=(llx & y z & t) in M2(R) / y+z=-x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! O enunciado pede para verificar se o conjunto é um subespaço de . Aqui, é o conjunto de todas as matrizes 2x2 com números reais. Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço e quais são as condições que ele precisa satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço. Um subespaço de um espaço vetorial precisa cumprir três condições básicas:
  1. Contém o vetor zero: A matriz zero deve estar no conjunto .
  2. Fechado sob adição: Se duas matrizes estão em , a soma delas também deve estar em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se uma matriz está em , qualquer múltiplo dela por um número real também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto .

Passo 3

1. Verificar se o conjunto contém a matriz zero:
A matriz zero em 0 & 0 0 & 0 é:
0 + 0 = -0 implies 0 = 0
Vamos ver se ela satisfaz a condição .
Aqui, , , e . Então:
Portanto, a matriz zero está em .

Passo 4

2. Verificar se o conjunto é fechado sob adição:
Vamos pegar duas matrizes quaisquer em A = x1 & y1 z1 & t1 , B = x2 & y2 z2 & t2 :
y1 + z1 = -x1 e y2 + z2 = -x2
Como A + B = x1 + x2 & y1 + y2 z1 + z2 & t1 + t2 e (y1 + y2) + (z1 + z2) = (y1 + z1) + (y2 + z2) = (-x1) + (-x2) = -(x1 + x2) estão em , elas satisfazem:
Vamos somá-las:
Precisamos verificar se :
Isso mostra que também está em , então o conjunto é fechado sob adição.

Passo 5

3. Verificar se o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar uma matriz A = x & y z & t , com y + z = -x em kA = kx & ky kz & kt e um escalar ky + kz = k(y + z) = k(-x) = -kx :
Multiplicando por :
Precisamos verificar se :
Então, também está em , o que mostra que o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como o conjunto contém a matriz zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, podemos concluir que é de fato um subespaço de .

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