Verificar se os conjuntos são subespaços :
W=(x, y, z) / x+2 y+3 z+4=0 do R^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para verificarmos se o conjunto é um subespaço do . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e os critérios que ele precisa cumprir. Basicamente, vamos checar se satisfaz três condições principais para ser considerado um subespaço.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço de é um conjunto que:
  1. Contém o vetor zero.
  2. É fechado sob adição de vetores.
  3. É fechado sob multiplicação por escalares.
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto .

Passo 3

Condição 1: Contém o vetor zero
O vetor zero em x + 2y + 3z + 4 = 0 0 + 2(0) + 3(0) + 4 = 4 neq 0 é . Vamos ver se ele pertence a :
Como , o vetor zero não está em . Isso já nos dá uma indicação importante!

Passo 4

Condição 2: Fechado sob adição
Mesmo que a primeira condição já não tenha sido satisfeita, por completude, vamos verificar se somar dois vetores de (x1 + x2) + 2(y1 + y2) + 3(z1 + z2) + 4 = 0 + 0 = 0 resulta em outro vetor de .
Se e estão em , então:
No entanto, a constante sempre estará presente, o que impede que a soma esteja em . Portanto, não é fechado sob adição.

Passo 5

Condição 3: Fechado sob multiplicação por escalares
Vamos verificar se multiplicar um vetor de c cdot x + 2(c cdot y) + 3(c cdot z) + 4 = c(x + 2y + 3z) + 4 = c(-4) + 4 por um escalar mantém o vetor no conjunto .
Se está em , então para qualquer escalar :
Para que isso seja igual a zero, precisaríamos que , mas para qualquer outro valor de , a igualdade não se sustenta. Assim, não é fechado sob multiplicação por escalares.

Resposta

O conjunto não é um subespaço de porque não contém o vetor zero e não satisfaz as condições de fechamento.

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