Verificar se os conjuntos são subespaços :
do
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para verificarmos se o conjunto
é um subespaço do
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e os critérios que ele precisa cumprir. Basicamente, vamos checar se
satisfaz três condições principais para ser considerado um subespaço.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço de
é um conjunto que:
- Contém o vetor zero.
- É fechado sob adição de vetores.
- É fechado sob multiplicação por escalares.
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto
.
Passo 3
Condição 1: Contém o vetor zero
O vetor zero em
é
. Vamos ver se ele pertence a
:
Como
, o vetor zero não está em
. Isso já nos dá uma indicação importante!
Passo 4
Condição 2: Fechado sob adição
Mesmo que a primeira condição já não tenha sido satisfeita, por completude, vamos verificar se somar dois vetores de
resulta em outro vetor de
.
Se
e
estão em
, então:
No entanto, a constante
sempre estará presente, o que impede que a soma esteja em
. Portanto,
não é fechado sob adição.
Passo 5
Condição 3: Fechado sob multiplicação por escalares
Vamos verificar se multiplicar um vetor de
por um escalar mantém o vetor no conjunto
.
Se
está em
, então para qualquer escalar
:
Para que isso seja igual a zero, precisaríamos que
, mas para qualquer outro valor de
, a igualdade não se sustenta. Assim,
não é fechado sob multiplicação por escalares.
Resposta
O conjunto
não é um subespaço de
porque não contém o vetor zero e não satisfaz as condições de fechamento.