Uma equação paramétrica do plano (x, y, z) in R^3 ; 2 x+3 y+5 z=-5, onde s, t in R são parâmetros, é:
(D) (-1,1,-165)+t(-10,0,4)+s(0,10,-6)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos uma equação paramétrica para o plano definido por . Isso está relacionado à geometria analítica, especificamente à representação de planos no espaço tridimensional usando parâmetros. Para resolver isso, vamos precisar entender como transformar a equação geral do plano em uma forma paramétrica.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação do plano de forma que possamos expressar uma das variáveis em função das outras. Vamos isolar, por exemplo, 2x + 3y + 5z = -5 5z = -5 - 2x - 3y z = -1 - 25x - 35y :

Passo 3

Agora, para obter a forma paramétrica, escolhemos duas variáveis como parâmetros. Vamos usar z = -1 - 25s - 35t e para representar essas variáveis. Vamos definir e . Substituindo na equação que encontramos para :

Passo 4

Com isso, podemos expressar as coordenadas x = s y = t z = -1 - 25s - 35t , e em termos dos parâmetros e :

Passo 5

Agora, para deixar a equação paramétrica mais clara, podemos escrever o vetor posição r = (0, 0, -1) + s(1, 0, -25) + t(0, 1, -35) como a soma de um ponto específico no plano e combinações lineares dos vetores diretores. Escolhemos e multiplicando os vetores que correspondem às direções dos parâmetros:

Passo 6

Simplificando os coeficientes, podemos multiplicar os vetores diretores por 5 para eliminar as frações:
r = (0, 0, -1) + s(5, 0, -2) + t(0, 5, -3)

Resposta

A equação paramétrica do plano é:
(0, 0, -1) + s(5, 0, -2) + t(0, 5, -3)

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