Uma equação paramétrica do plano (x, y, z) in R^3 ; 2 x+3 y+5 z=-5, onde s, t in R são parâmetros, é:
(F) (-1,1,-165)+t(-9,0,3)+s(0,22,-14)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem o enunciado dizendo que precisa achar uma equação paramétrica para o plano definido por (-1,1,-165) + t(-9,0,3) + s(0,22,-14) . Além disso, foi dada uma opção (F) para a gente verificar se está correta:
Vamos precisar entender como construir uma equação paramétrica de um plano e verificar se essa opção faz sentido.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma equação paramétrica de um plano em r = r0 + tv + sw é dada por um ponto qualquer que está no plano mais combinações lineares de dois vetores que são paralelos ao plano. Ou seja:
Onde é um ponto no plano, e e são vetores direção que estão no plano.

Passo 3

Vamos verificar se o ponto dado na opção F, 2(-1) + 3(1) + 5(-165) = -2 + 3 - 16 = -15 neq -5 , realmente está no plano. Substituindo na equação do plano:
Então, esse ponto não está no plano desejado. Já é um sinal de que a opção F pode estar errada.

Passo 4

Mesmo assim, vamos checar os vetores diretores para ter certeza. Os vetores dados são (2,3,5) cdot (-9,0,3) = 2*(-9) + 3*0 + 5*3 = -18 + 0 + 15 = -3 neq 0 e (2,3,5) cdot (0,22,-14) = 2*0 + 3*22 + 5*(-14) = 0 + 66 - 70 = -4 neq 0 . Para que sejam paralelos ao plano, eles devem ser perpendiculares ao vetor normal do plano. O vetor normal para a equação é .
Vamos ver o produto escalar:
Como os produtos escalares não são zero, os vetores não são paralelos ao plano. Então, eles não podem ser usados na equação paramétrica.

Resposta

A opção F não é uma equação paramétrica válida para o plano .

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