Uma equação paramétrica do plano (x, y, z) in R^3 ; 2 x+3 y+5 z=-5, onde s, t in R são parâmetros, é:
(E) (1,-1,-45)+t(-13,0,7)+s(0,18,-10)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado. Temos uma equação de um plano no espaço tridimensional: . Nosso objetivo é encontrar uma equação paramétrica para esse plano, ou seja, expressar , e em função de dois parâmetros, que vamos chamar de e . Para isso, vamos precisar saber como parametrizar um plano usando vetores.

Passo 2

Para parametrizar um plano, precisamos de um ponto específico que pertença ao plano e de dois vetores que estejam dentro do plano, ou seja, que sejam paralelos a ele. Esses vetores serão nossos vetores diretores.

Passo 3

Vamos encontrar um ponto que satisfaça a equação do plano. Podemos escolher valores para duas das variáveis e resolver para a terceira. Por exemplo, se 2(1) + 3(-1) + 5z = -5 e 2 - 3 + 5z = -5, substituindo na equação:
-1 + 5z = -5
5z = -4
z = -45
Então, o ponto está no plano.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar dois vetores que estejam no plano. Para isso, podemos escolher dois outros pontos no plano e calcular os vetores que ligam o ponto que já encontramos a esses novos pontos.

Passo 5

Escolhemos outro ponto no plano fixando, por exemplo, 2(0) + 3(18) + 5z = -5 e 0 + 54 + 5z = -5. Substituindo na equação:
54 + 5z = -5
5z = -59
z = -595
(0 - 1, 18 - (-1), -595 - (-45)) = (-1, 19, -555) = (-1, 19, -11)
Então, o ponto está no plano. O vetor que liga a é:

Passo 6

Vamos escolher mais um ponto no plano para encontrar o segundo vetor. Por exemplo, fixando 2(-13) + 3(0) + 5z = -5 e -26 + 0 + 5z = -5, substituindo na equação:
-26 + 5z = -5
5z = 21
z = 215
(-13 - 1, 0 - (-1), 215 - (-45)) = (-14, 1, 255) = (-14, 1, 5)
Então, o ponto está no plano. O vetor que liga a é:

Passo 7

Com o ponto (1, -1, -45) + t(-14, 1, 5) + s(-1, 19, -11) e os vetores diretores e , podemos escrever a equação paramétrica do plano:

Resposta

A equação paramétrica do plano é:
(1, -1, -45) + t(-14, 1, 5) + s(-1, 19, -11)

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