Responda se é convergente ou divergente as seguintes integrais impróprias, e justifique.
  • (h) integral0^+infty e^-s t t^2 d t

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem a integral imprópria . O conteúdo aqui envolve cálculo de integrais impróprias, onde o limite de integração vai até o infinito. Vamos precisar usar conhecimentos de funções exponenciais e polinomiais, além de entender como determinar se uma integral imprópria converge (tem um valor finito) ou diverge (não tem um valor finito).

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que estamos integrando: . Aqui, é uma função exponencial decrescente, e é uma função polinomial que cresce à medida que aumenta. A interação entre essas duas funções vai determinar se a integral converge ou diverge.

Passo 3

Para analisar a convergência, vamos calcular a integral. Sabemos que:
integral0^+infty e^-s t t^n , dt = n!s^n+1
No nosso caso, integral0^+infty e^-s t t^2 , dt = 2!s^3 = 2s^3 , então:

Passo 4

Como obteve um valor finito para a integral, isso significa que a integral converge.

Resposta

A integral é convergente e seu valor é .

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