Responda se é convergente ou divergente as seguintes integrais impróprias, e justifique.
- (h)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem a integral imprópria
. O conteúdo aqui envolve cálculo de integrais impróprias, onde o limite de integração vai até o infinito. Vamos precisar usar conhecimentos de funções exponenciais e polinomiais, além de entender como determinar se uma integral imprópria converge (tem um valor finito) ou diverge (não tem um valor finito).
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que estamos integrando:
. Aqui,
é uma função exponencial decrescente, e
é uma função polinomial que cresce à medida que
aumenta. A interação entre essas duas funções vai determinar se a integral converge ou diverge.
Passo 3
Para analisar a convergência, vamos calcular a integral. Sabemos que:
No nosso caso,
, então:
Passo 4
Como obteve um valor finito
para a integral, isso significa que a integral converge.
Resposta
A integral
é convergente e seu valor é
.
Exercícios relacionados
(a) a equação do plano tangente ao gráfico de
no ponto
;
(b) o ponto no gráfico de em que o plano tangente seja paralelo ao plano obtido no item (a).
(b) o ponto no gráfico de
Mostre que, para quaisquer conjuntos
, tem-se que:
se e somente se
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f) .
(g)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)