Responda se é convergente ou divergente as seguintes integrais impróprias, e justifique.
  • (h)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem a integral imprópria . O conteúdo aqui envolve cálculo de integrais impróprias, onde o limite de integração vai até o infinito. Vamos precisar usar conhecimentos de funções exponenciais e polinomiais, além de entender como determinar se uma integral imprópria converge (tem um valor finito) ou diverge (não tem um valor finito).

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que estamos integrando: . Aqui, é uma função exponencial decrescente, e é uma função polinomial que cresce à medida que aumenta. A interação entre essas duas funções vai determinar se a integral converge ou diverge.

Passo 3

Para analisar a convergência, vamos calcular a integral. Sabemos que:
No nosso caso, , então:

Passo 4

Como obteve um valor finito para a integral, isso significa que a integral converge.

Resposta

A integral é convergente e seu valor é .

Exercícios relacionados

(a) a equação do plano tangente ao gráfico de no ponto ;
(b) o ponto no gráfico de em que o plano tangente seja paralelo ao plano obtido no item (a).
Mostre que, para quaisquer conjuntos , tem-se que: se e somente se .
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f) .
(g)