(a) f(x, y)=c2 x yraizx^2+y^2, se (x, y) neq(0,0) 0, se(x, y)=(0,0)
(b) f(x, y, z)=c(x+y+z+1)^2(x-1)^2+y^4+(z+2)^2, se (x, y, z) neq(1,0,-2) 1, se (x, y, z)=(1,0,-2)
© f(x, y)=cx+yx^2+y^2, se (x, y) neq(0,0) 0, se (x, y)=(0,0)
(d) f(x, y)=cc5 x y^2-3 x^2 y2 x^2+y^4, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)
(e) f(x, y)=cx^2 y^2x^2+y^4, se (x, y) neq(0,0) 0, se (x, y)=(0,0)
(f) f(x, y)=cccx y-2 xx^2+y^2+2 x-4 y+5, & se & (x, y) neq(-1,2) 0, & se & (x, y)=(-1,2).
(g) f(x, y)=c3 y^4(x+1)^4(y^4+x^2+2 x+1)^3, se (x, y) neq(-1,0) 0, se (x, y)=(-1,0)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no exercício da parte (a). A gente tem uma função definida por partes:
f(x, y) = 2xyraizx^2+y^2 & se (x, y) neq (0,0) 0 & se (x, y) = (0,0)
O conteúdo aqui envolve limites de funções de duas variáveis e a continuidade no ponto . Para resolver isso, vamos precisar calcular o limite de quando se aproxima de e comparar com o valor da função nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar entender o que significa a função ser contínua no ponto lim(x, y) to (0,0) 2xyraizx^2+y^2 = 0 . Uma função é contínua nesse ponto se o limite quando se aproxima de for igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja, precisamos verificar se:

Passo 3

Para calcular esse limite, vamos usar coordenadas polares, que facilitam a análise de limites em duas dimensões. Nas coordenadas polares, temos:
x = rcostheta y = rsintheta raizx^2+y^2 = r
Substituindo na função:
f(r, theta) = 2(rcostheta)(rsintheta)r = 2rcosthetasintheta

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite de limr to 0 2rcosthetasintheta = 0 quando :
Isso porque está multiplicando , e conforme se aproxima de 0, todo o termo tende a 0, independente do valor de .

Passo 5

Como o limite de quando se aproxima de é 0, e o valor da função em também é 0, podemos concluir que a função é contínua nesse ponto.

Resposta

A função é contínua no ponto .

Exercícios relacionados