(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
.
(g)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no exercício da parte (a). A gente tem uma função definida por partes:
O conteúdo aqui envolve limites de funções de duas variáveis e a continuidade no ponto
. Para resolver isso, vamos precisar calcular o limite de
quando
se aproxima de
e comparar com o valor da função nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar entender o que significa a função ser contínua no ponto
. Uma função é contínua nesse ponto se o limite quando
se aproxima de
for igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja, precisamos verificar se:
Passo 3
Para calcular esse limite, vamos usar coordenadas polares, que facilitam a análise de limites em duas dimensões. Nas coordenadas polares, temos:
Substituindo na função:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite de
quando
:
Isso porque
está multiplicando
, e conforme
se aproxima de 0, todo o termo tende a 0, independente do valor de
.
Passo 5
Como o limite de
quando
se aproxima de
é 0, e o valor da função em
também é 0, podemos concluir que a função é contínua nesse ponto.
Resposta
A função
é contínua no ponto
.