A equação da recta que passa pelo ponto (3,-2) e é perpendicular a recta 2 x+5 y=10 é:
A. 5 x+2 y-19=0
B. 5 x-2 y+19=0
C. -5 x-2 y-19=0
D. 5 x+2 y+19=0

Passo 1

Beleza! Vamos resolver juntos esse exercício de geometria analítica. O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a equação da reta que passa pelo ponto (3, -2) e que é perpendicular à reta dada pela equação 2x + 5y = 10. Para isso, vamos usar conceitos de coeficiente angular e perpendicularidade de retas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação da reta dada: 2x + 5y = 10. Normalmente, é mais fácil trabalhar com essa equação se a gente colocar ela na forma y = mx + b, onde m é o coeficiente angular e b é o intercepto com o eixo y.
Para isso, vamos isolar o y:
2x + 5y = 10 5y = -2x + 10 y = -25x + 2
Então, o coeficiente angular da reta dada é m1 = -25.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o coeficiente angular da reta que é perpendicular à reta dada. A propriedade importante aqui é que o produto dos coeficientes angulares de duas retas perpendiculares é igual a -1. Ou seja:
m1 times m2 = -1
Sabendo que m1 = -25, podemos encontrar m2:
-25 times m2 = -1 m2 = 52
Então, o coeficiente angular da reta que procuramos �� m2 = 52.

Passo 4

Com o coeficiente angular m2 = 52 e sabendo que a reta passa pelo ponto (3, -2), podemos usar a equação ponto-inclinação para encontrar a equação da reta. A fórmula é:
y - y1 = m(x - x1)
Onde (x1, y1) é o ponto dado e m é o coeficiente angular.
Substituindo os valores:
y - (-2) = 52(x - 3) y + 2 = 52x - 152

Passo 5

Vamos simplificar essa equação para chegar à forma geral Ax + By + C = 0:
y + 2 = 52x - 152 Mu
2y + 4 = 5x - 15 Reorganizando os termos:
5x - 2y - 19 = 0

Resposta

A equação da reta procurada é 5x - 2y -19 = 0, que corresponde à alternativa A.

Exercícios relacionados

As coordenadas do ponto de intersecção das rectas x+y=3 e 2 x-3 y=-4 são:
A. (2,1)
B. (-2,-1)
C. (-1,-2)
D. (1,2)
O periodo de cada função abaixo é:
y6=tg(x+pi3);
A: -pi
B. pi
C. -pi5
D. -2 pi
Qual é o ponto médio do segmento cujos pontos extremos são E(1,-4) eF (-5 ; 2)
A. (-2,-1)
B. (-1,-2)
C. (1,2)
D. (2,1)
Mostre a proposição 2.4 .3 para matrizes 2 times 2 quaisquer.