Mostre a proposição 2.4 .3 para matrizes
quaisquer.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar a proposição 2.4.3 para matrizes
quaisquer. Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, mais especificamente sobre matrizes e suas propriedades. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a fórmula para encontrar a inversa de uma matriz
e entender o que significa uma matriz ser invertível.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma matriz inversa. Uma matriz
é invertível se existe outra matriz
tal que
, onde
é a matriz identidade. Para matrizes
, há uma fórmula específica para encontrar essa inversa, desde que a matriz seja invertível.
Passo 3
Vamos considerar uma matriz
qualquer
:
Para que
seja invertível, o determinante de
deve ser diferente de zero. O determinante de
é dado por:
Passo 4
Se
, podemos encontrar a inversa de
usando a seguinte fórmula:
Vamos entender essa fórmula:
-
é uma constante que multiplica todos os elementos da matriz adjunta de . - A matriz adjunta de
é formada trocando os elementos e , e mudando os sinais de e .
Passo 5
Vamos verificar se essa fórmula realmente funciona multiplicando
por
:
Realizando a multiplicação:
Simplificando:
Isso confirma que
é realmente a inversa de
.
Resposta
Assim, mostramos que para qualquer matriz
com
, a inversa de
é dada por:
Exercícios relacionados
Qual é o ponto médio do segmento cujos pontos extremos são
eF
A.
B.
C.
D.
A.
B.
C.
D.
A equação da recta que passa pelo ponto
e é perpendicular a recta
é:
A.
B.
C.
D.
A.
B.
C.
D.
Seja
dada por
.
Determine os subespaços vetoriais núcleo e a imagem
;
Determine os subespaços vetoriais núcleo
Seja
dada por
.
Determine uma base para cada um dos subespaços vetoriais: e
;
Determine uma base para cada um dos subespaços vetoriais: