Mostre a proposição 2.4 .3 para matrizes 2 times 2 quaisquer.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar a proposição 2.4.3 para matrizes quaisquer. Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, mais especificamente sobre matrizes e suas propriedades. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a fórmula para encontrar a inversa de uma matriz e entender o que significa uma matriz ser invertível.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma matriz inversa. Uma matriz é invertível se existe outra matriz tal que , onde é a matriz identidade. Para matrizes , há uma fórmula específica para encontrar essa inversa, desde que a matriz seja invertível.

Passo 3

Vamos considerar uma matriz A = a & b c & d qualquer det(A) = ad - bc :
Para que seja invertível, o determinante de deve ser diferente de zero. O determinante de é dado por:

Passo 4

Se A^-1 = 1det(A) d & -b -c & a , podemos encontrar a inversa de usando a seguinte fórmula:
Vamos entender essa fórmula:
  • é uma constante que multiplica todos os elementos da matriz adjunta de .
  • A matriz adjunta de é formada trocando os elementos e , e mudando os sinais de e .

Passo 5

Vamos verificar se essa fórmula realmente funciona multiplicando A cdot A^-1 = a & b c & d cdot 1ad - bc d & -b -c & a por A cdot A^-1 = 1ad - bc a cdot d + b cdot (-c) & a cdot (-b) + b cdot a c cdot d + d cdot (-c) & c cdot (-b) + d cdot a :
A cdot A^-1 = 1ad - bc ad - bc & 0 0 & ad - bc = 1 & 0 0 & 1 = I
Realizando a multiplicação:
Simplificando:
Isso confirma que é realmente a inversa de .

Resposta

Assim, mostramos que para qualquer matriz a & b c & d A^-1 = 1ad - bc d & -b -c & a com , a inversa de é dada por:

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