Uma matriz quadrada A é dita idempotente se A^2=A.
(b) Qual é a única matriz idempotente não-singular? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre matrizes idempotentes. O enunciado nos pede para descobrir qual é a única matriz idempotente que também é não-singular. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma matriz ser idempotente e o que é uma matriz não-singular. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma matriz idempotente. Uma matriz quadrada é chamada de idempotente se, quando multiplicamos ela por ela mesma, o resultado é a própria matriz. Ou seja, . Isso significa que, ao aplicar a transformação representada por duas vezes, obtemos o mesmo resultado que aplicando uma vez.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre matrizes não-singulares. Uma matriz é não-singular se ela tem inversa, ou seja, existe uma matriz tal que , onde é a matriz identidade. Isso também significa que o determinante de não é zero ( ).

Passo 4

Nosso objetivo é encontrar a única matriz que é ao mesmo tempo idempotente e não-singular. Vamos supor que existe uma matriz que satisfaz essas duas condições. Como é idempotente, temos .

Passo 5

Como A^2 cdot A^-1 = A cdot A^-1 é não-singular, podemos multiplicar ambos os lados da equação A = I por , a inversa de . Fazendo isso, temos:
Simplificando, obtemos:

Passo 6

A única matriz que satisfaz é a matriz identidade . Portanto, a matriz identidade é a única matriz que é idempotente e não-singular ao mesmo tempo.

Resposta

A única matriz idempotente não-singular é a matriz identidade .

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