Uma matriz quadrada
é dita idempotente se
.
(b) Qual é a única matriz idempotente não-singular? Justifique sua resposta.
(b) Qual é a única matriz idempotente não-singular? Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão sobre matrizes idempotentes. O enunciado nos pede para descobrir qual é a única matriz idempotente que também é não-singular. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma matriz ser idempotente e o que é uma matriz não-singular. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma matriz idempotente. Uma matriz quadrada
é chamada de idempotente se, quando multiplicamos ela por ela mesma, o resultado é a própria matriz. Ou seja,
. Isso significa que, ao aplicar a transformação representada por
duas vezes, obtemos o mesmo resultado que aplicando uma vez.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre matrizes não-singulares. Uma matriz é não-singular se ela tem inversa, ou seja, existe uma matriz
tal que
, onde
é a matriz identidade. Isso também significa que o determinante de
não é zero (
).
Passo 4
Nosso objetivo é encontrar a única matriz que é ao mesmo tempo idempotente e não-singular. Vamos supor que existe uma matriz
que satisfaz essas duas condições. Como
é idempotente, temos
.
Passo 5
Como
é não-singular, podemos multiplicar ambos os lados da equação
por
, a inversa de
. Fazendo isso, temos:
Simplificando, obtemos:
Passo 6
A única matriz que satisfaz
é a matriz identidade
. Portanto, a matriz identidade é a única matriz que é idempotente e não-singular ao mesmo tempo.
Resposta
A única matriz idempotente não-singular é a matriz identidade
.