O ponto do eixo das abscissas, equidistante aos pontos P(-2,2) e Q(2,6) é?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve geometria analítica! A gente precisa achar um ponto no eixo das abscissas (que é o eixo x) que está na mesma distância dos pontos P(-2,2) e Q(2,6). Para isso, vamos usar a fórmula de distância entre dois pontos no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar o ponto que estamos procurando de $ R(x, 0) $, já que ele está no eixo x e a coordenada y é 0. Agora, vamos usar a fórmula da distância para calcular a distância entre $ R $ e $ P $, e entre $ R $ e $ Q $.
Passo 3
A fórmula da distância entre dois pontos $ (x_1, y_1) $ e $ (x_2, y_2) $ é:
Então, a distância entre $ R(x, 0) $ e $ P(-2, 2) $ é:
E a distância entre $ R(x, 0) $ e $ Q(2, 6) $ é:
Passo 4
Como o ponto $ R $ está equidistante de $ P $ e $ Q $, temos que $ d_{RP} = d_{RQ} $. Assim, igualamos as duas expressões:
Vamos eliminar as raízes quadradas elevando ambos os lados ao quadrado:
Expandindo os quadrados:
Simplificando:
Subtraindo $ x^2 $ de ambos os lados:
Somando $ 4x $ e subtraindo 8:
Dividindo por 8:
Resposta
O ponto no eixo das abscissas que está equidistante dos pontos $ P(-2,2) $ e $ Q(2,6) $ é $ (4, 0) $.