Suponha que a temperatura ambiente é igual a
e que a temperatura
de um corpo depende apenas do tempo
. A lei do resfriamento de Newton afirma que a taxa de variação da temperatura do corpo é proporcional à sua diferença com a temperatura ambiente. Com base nisto, resolva os itens que se seguem.
Verifique que a temperatura
satisfaz a equação
onde
é uma constante. Qual é o significado do sinal de menos do lado direito da igualdade?
Verifique que a temperatura
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a temperatura de um corpo que muda com o tempo e como essa mudança depende da temperatura ambiente. A gente vai usar a Lei do Resfriamento de Newton, que diz que a velocidade com que a temperatura do corpo muda é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura ambiente. Pra resolver isso, vamos precisar entender um pouco de calculo diferencial, especificamente equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar a equação que a gente tem:
Aqui,
representa a taxa de variação da temperatura do corpo em relação ao tempo. O
é uma constante positiva que diz o quão rápido essa troca de calor acontece.
Passo 3
O lado direito da equação tem
. A parte
é a diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura ambiente. O sinal de menos na frente é super importante aqui.
Passo 4
Esse sinal de menos significa que a taxa de variação
está agindo na direção oposta da diferença de temperatura. Ou seja, se o corpo está mais quente que o ambiente (
), então
é positivo, mas o sinal de menos faz com que
seja negativo, indicando que a temperatura está diminuindo.
Passo 5
Por outro lado, se o corpo estiver mais frio que o ambiente (
), então
é negativo, e com o sinal de menos,
fica positivo, mostrando que a temperatura do corpo está aumentando pra se aproximar da temperatura ambiente.
Passo 6
Então, resumindo, o sinal de menos na equação mostra que a taxa de variação da temperatura está sempre puxando a temperatura do corpo em direção à temperatura ambiente. É uma forma de dizer que o corpo está tendendo a se equilibrar com o ambiente ao seu redor.
Resposta
O sinal de menos indica que a temperatura do corpo está diminuindo se estiver acima da temperatura ambiente e aumentando se estiver abaixo, ou seja, a taxa de variação da temperatura sempre puxa
em direção a
.
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desta equação é conhecida. Uma solução mais geral, com uma constante arbitrária, pode ser conseguida pela substituição
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Verifique que
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.
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Deduza de (a) que a solução geral de uma equa- ção de Ricatti pode ser encontrada, desde que se conheça uma solução particular. Explicite tal solução em termos da solução particular.
Nos exercicios 9 e 10, (a) expresse
e
mo funçöes de
e
usando a Regra da cadeia e tambe
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