Suponha que a temperatura ambiente é igual a Ta e que a temperatura T(t) de um corpo depende apenas do tempo t. A lei do resfriamento de Newton afirma que a taxa de variação da temperatura do corpo é proporcional à sua diferença com a temperatura ambiente. Com base nisto, resolva os itens que se seguem.
Verifique que a temperatura T(t) satisfaz a equação
T'(t) = -k(T(t) - Ta), t > 0
onde k > 0 é uma constante. Qual é o significado do sinal de menos do lado direito da igualdade?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a temperatura de um corpo que muda com o tempo e como essa mudança depende da temperatura ambiente. A gente vai usar a Lei do Resfriamento de Newton, que diz que a velocidade com que a temperatura do corpo muda é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura ambiente. Pra resolver isso, vamos precisar entender um pouco de calculo diferencial, especificamente equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a equação que a gente tem:
Aqui, representa a taxa de variação da temperatura do corpo em relação ao tempo. O é uma constante positiva que diz o quão rápido essa troca de calor acontece.

Passo 3

O lado direito da equação tem . A parte é a diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura ambiente. O sinal de menos na frente é super importante aqui.

Passo 4

Esse sinal de menos significa que a taxa de variação está agindo na direção oposta da diferença de temperatura. Ou seja, se o corpo está mais quente que o ambiente ( ), então é positivo, mas o sinal de menos faz com que seja negativo, indicando que a temperatura está diminuindo.

Passo 5

Por outro lado, se o corpo estiver mais frio que o ambiente ( ), então é negativo, e com o sinal de menos, fica positivo, mostrando que a temperatura do corpo está aumentando pra se aproximar da temperatura ambiente.

Passo 6

Então, resumindo, o sinal de menos na equação mostra que a taxa de variação da temperatura está sempre puxando a temperatura do corpo em direção à temperatura ambiente. É uma forma de dizer que o corpo está tendendo a se equilibrar com o ambiente ao seu redor.

Resposta

O sinal de menos indica que a temperatura do corpo está diminuindo se estiver acima da temperatura ambiente e aumentando se estiver abaixo, ou seja, a taxa de variação da temperatura sempre puxa em direção a .

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