(Equações de Riccati) A equação
é conhecida como a equação de Riccati. Suponhamos que uma certa solução
desta equação é conhecida. Uma solução mais geral, com uma constante arbitrária, pode ser conseguida pela substituição
Considere a equação de Riccati
Verifique que
é uma solução da equação. Em seguida, utilize as informações do item (a) para resolver a equação.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma Equação de Riccati:
A gente também sabe que uma solução dessa equação é
. Nosso objetivo é verificar isso e, depois, encontrar a solução geral usando essa informação. Para resolver, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais e substituições que facilitam encontrar soluções gerais.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
é realmente uma solução da equação. Para isso, substituímos
na equação e vemos se ela satisfaz a igualdade.
Calculando a derivada de
:
Agora, substituindo
na equação original:
Simplificando:
Viu só? A igualdade foi satisfeita, então
é de fato uma solução da equação.
Passo 3
Agora que sabemos que
é uma solução, vamos usar a substituição dada para encontrar a solução geral:
Nosso objetivo é encontrar
.
Passo 4
Vamos calcular a derivada de
em termos de
:
Agora, substituímos
e
na equação original:
Passo 5
Vamos simplificar o lado direito da equação passo a passo:
- Expandir
:
- Expandir
:
Agora, juntando tudo:
Então, a equação fica:
Passo 6
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 7
Agora, temos uma equação diferencial simples para
:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Lembrando que:
Podemos reescrever isso como:
Esse é a solução geral da equação de Riccati dada, onde
é uma constante arbitrária.
Resposta
A solução geral da equação de Riccati é:
onde
é uma constante arbitrária.