(Equações de Riccati) A equação
d y/d t = q1(t) + q2(t) y + q3(t) y^2
é conhecida como a equação de Riccati. Suponhamos que uma certa solução y1 desta equação é conhecida. Uma solução mais geral, com uma constante arbitrária, pode ser conseguida pela substituição
y(t) = y1(t) + 1/v(t)
Considere a equação de Riccati
d y/d t = 1 + t^2 - 2 t y + y^2
Verifique que y1(t) = t é uma solução da equação. Em seguida, utilize as informações do item (a) para resolver a equação.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma Equação de Riccati:
A gente também sabe que uma solução dessa equação é . Nosso objetivo é verificar isso e, depois, encontrar a solução geral usando essa informação. Para resolver, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais e substituições que facilitam encontrar soluções gerais.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se é realmente uma solução da equação. Para isso, substituímos na equação e vemos se ela satisfaz a igualdade.
Calculando a derivada de :
Agora, substituindo na equação original:
Simplificando:
Viu só? A igualdade foi satisfeita, então é de fato uma solução da equação.

Passo 3

Agora que sabemos que é uma solução, vamos usar a substituição dada para encontrar a solução geral:
Nosso objetivo é encontrar .

Passo 4

Vamos calcular a derivada de em termos de :
Agora, substituímos e na equação original:

Passo 5

Vamos simplificar o lado direito da equação passo a passo:
  1. Expandir :
  1. Expandir :
Agora, juntando tudo:
Então, a equação fica:

Passo 6

Subtraindo 1 de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 7

Agora, temos uma equação diferencial simples para :
Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Lembrando que:
Podemos reescrever isso como:
Esse é a solução geral da equação de Riccati dada, onde é uma constante arbitrária.

Resposta

A solução geral da equação de Riccati é:
onde é uma constante arbitrária.

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