(Equações de Riccati) A equação
é conhecida como a equação de Riccati. Suponhamos que uma certa solução
desta equação é conhecida. Uma solução mais geral, com uma constante arbitrária, pode ser conseguida pela substituição
Considere a equação de Riccati
Verifique que
é uma solução da equação. Em seguida, utilize as informações do item (a) para resolver a equação.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma Equação de Riccati:
A gente também sabe que uma solução dessa equação é
. Nosso objetivo é verificar isso e, depois, encontrar a solução geral usando essa informação. Para resolver, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais e substituições que facilitam encontrar soluções gerais.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
é realmente uma solução da equação. Para isso, substituímos
na equação e vemos se ela satisfaz a igualdade.
Calculando a derivada de
:
Agora, substituindo
na equação original:
Simplificando:
Viu só? A igualdade foi satisfeita, então
é de fato uma solução da equação.
Passo 3
Agora que sabemos que
é uma solução, vamos usar a substituição dada para encontrar a solução geral:
Nosso objetivo é encontrar
.
Passo 4
Vamos calcular a derivada de
em termos de
:
Agora, substituímos
e
na equação original:
Passo 5
Vamos simplificar o lado direito da equação passo a passo:
- Expandir
:
- Expandir
:
Agora, juntando tudo:
Então, a equação fica:
Passo 6
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 7
Agora, temos uma equação diferencial simples para
:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Lembrando que:
Podemos reescrever isso como:
Esse é a solução geral da equação de Riccati dada, onde
é uma constante arbitrária.
Resposta
A solução geral da equação de Riccati é:
onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Equação de Ricatti: A equação
onde
e
são funções contínuas em algum intervalo I da reta real e
em I , é conhecida como equação de Ricatti. Seja
uma solução particular dessa equação. Considere então a mudança de variável
.
Deduza de (a) que a solução geral de uma equa- ção de Ricatti pode ser encontrada, desde que se conheça uma solução particular. Explicite tal solução em termos da solução particular.
Deduza de (a) que a solução geral de uma equa- ção de Ricatti pode ser encontrada, desde que se conheça uma solução particular. Explicite tal solução em termos da solução particular.
Nos exercicios 23-34, encontre
e
Suponha que a temperatura ambiente é igual a
e que a temperatura
de um corpo depende apenas do tempo
. A lei do resfriamento de Newton afirma que a taxa de variação da temperatura do corpo é proporcional à sua diferença com a temperatura ambiente. Com base nisto, resolva os itens que se seguem.
Verifique que a temperatura satisfaz a equação
Verifique que a temperatura
onde
é uma constante. Qual é o significado do sinal de menos do lado direito da igualdade?
Nos exercicios 9 e 10, (a) expresse
e
mo funçöes de
e
usando a Regra da cadeia e tambe