Use o teorema da divergência para calcular o fluxo integral duplaS F d S.
F=(x y sin z) i+(cos x y) j+(y cos z) k e S é o elipsóide x^2 / a^2+y^2 / b^2+z^2 / c^2=1.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem que calcular o fluxo do campo vetorial atravessando a superfície que é um elipsoide dado por . Para isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que nos ajuda a transformar um fluxo através de uma superfície fechada em uma integral tripla sobre o volume que essa superfície encerra.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a divergência do campo vetorial div , F = partialpartial x(x y sin z) + partialpartial y(cos x y) + partialpartial z(y cos z) . A divergência é dada por:
div , F = y sin z + cos x - y sin z = cos x
Vamos calcular cada termo separadamente:
  1. (porque é tratado como constante em relação a ).
  2. (a derivada de em relação a é 1).
  3. (derivada de é ).
Somando tudo:
Interessante, a divergência simplifica para !

Passo 3

Agora, aplicamos o Teorema da Divergência, que nos diz que o fluxo através da superfície integral duplaS F cdot dS = integral triplaV div , F , dV = integral triplaV cos x , dV é igual à integral tripla da divergência de sobre o volume encerrado por :
Então, precisamos calcular onde é o volume do elipsoide.

Passo 4

Para facilitar os cálculos, vamos fazer uma mudança de coordenadas que transforma o elipsoide em uma esfera. Vamos definir:
u = xa, v = yb, w = zc
Isso transforma o elipsoide em:
u^2 + v^2 + w^2 = 1
O Jacobiano dessa transformação (que ajusta o volume) é integral triplaV cos x , dV = a b c integral triplaesfera cos(a u) , du , dv , dw . Assim, a integral fica:
a b c integral0^2pi integral0^pi integral0^1 cos(a r sin phi cos theta) , r^2 sin phi , dr , dphi , dtheta
Agora, usando coordenadas esféricas para a esfera , a integral se torna:
Essa integral pode ser complicada, mas observamos que, devido à simetria, a contribuição média de ao redor de será zero. Portanto, o valor final da integral é zero.

Resposta

O fluxo é igual a zero.

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