Use o teorema da divergência para calcular o fluxo
.
e
é o elipsóide
.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem que calcular o fluxo do campo vetorial
atravessando a superfície
que é um elipsoide dado por
. Para isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que nos ajuda a transformar um fluxo através de uma superfície fechada em uma integral tripla sobre o volume que essa superfície encerra.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular a divergência do campo vetorial
. A divergência é dada por:
Vamos calcular cada termo separadamente:
-
(porque é tratado como constante em relação a ). -
(a derivada de em relação a é 1). -
(derivada de é ).
Somando tudo:
Interessante, a divergência simplifica para
!
Passo 3
Agora, aplicamos o Teorema da Divergência, que nos diz que o fluxo através da superfície
é igual à integral tripla da divergência de
sobre o volume
encerrado por
:
Então, precisamos calcular
onde
é o volume do elipsoide.
Passo 4
Para facilitar os cálculos, vamos fazer uma mudança de coordenadas que transforma o elipsoide em uma esfera. Vamos definir:
Isso transforma o elipsoide em:
O Jacobiano dessa transformação (que ajusta o volume) é
. Assim, a integral fica:
Agora, usando coordenadas esféricas para a esfera
, a integral se torna:
Essa integral pode ser complicada, mas observamos que, devido à simetria, a contribuição média de
ao redor de
será zero. Portanto, o valor final da integral é zero.
Resposta
O fluxo
é igual a zero.
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.