A figura abaixo mostra um ponto sobre a parábola e um ponto onde a perpendicular que bissecta intercepta o eixo . À medida que tente a origem ao longo da parábola, o que acontece com ? Ele tende a uma posição limite? Se sim, encontre-a.
[Sugestão: Seja o ponto médio de OP , basta considerar que as retas OP e MQ são perpendiculares e relacionas seus coeficientes angulares e encontrar as coordenas de Q e depois tomar o limite quando x tende a 0]

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma parábola dada por e um ponto que está sobre essa parábola. A partir de , traçamos a reta , onde é a origem (0,0). Depois, encontramos o ponto médio de e traçamos uma perpendicular a que passa por . Esse perpendicular vai cortar o eixo no ponto . O exercício quer saber o que acontece com quando se aproxima da origem ao longo da parábola, ou seja, quando as coordenadas de tendem a (0,0). Queremos descobrir se tende a uma posição específica e, se sim, qual é essa posição limite.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as coordenadas do ponto na parábola . Vamos chamar as coordenadas de de . Como é a origem, suas coordenadas são .

Passo 3

Agora, vamos encontrar as coordenadas do ponto médio de . A fórmula para encontrar o ponto médio entre dois pontos e é:
Aplicando isso aos pontos e , temos:

Passo 4

Em seguida, precisamos encontrar a equação da reta . A inclinação (coeficiente angular) da reta que passa pelos pontos e é dada por:
Para , temos:
Então, a inclinação de é .

Passo 5

A reta perpendicular a terá uma inclinação que é o negativo do inverso da inclinação de . Ou seja:
Agora, sabemos que essa reta perpendicular passa pelo ponto médio . Podemos usar a forma da equação da reta:
Substituindo os valores:
Simplificando dentro do parêntese:
Então:

Passo 6

Queremos encontrar o ponto , que é onde essa reta perpendicular intercepta o eixo . No eixo , . Substituindo na equação da reta:
Portanto, as coordenadas de são .

Passo 7

Agora, vamos analisar o que acontece com quando tende à origem, ou seja, quando tende a 0. Observamos que, independentemente do valor de , sempre está em . Isso significa que, à medida que se aproxima da origem, tende a permanecer no mesmo ponto.

Resposta

O ponto tende à posição limite quando se aproxima da origem ao longo da parábola .

Exercícios relacionados

Use o teorema da divergência para calcular o fluxo .
e é o elipsóide .
Faça o mapa de contorno da função mostrando várias curvas de nível.
Uma equação de Ricatti pode ser resolvida por meio de duas substituições em sequência desde que conheçamos uma solução particular da equação. Mostre que a substituição reduz a equação de Ricatti para uma equação de Bemoulli com . A equação de Bernoulli pode então ser reduzida para uma equação linear pela substituição .
Resolva a equação diferencial dada por meio de uma substituição apropriada.