A figura abaixo mostra um ponto
sobre a parábola
e um ponto
onde a perpendicular que bissecta
intercepta o eixo
. À medida que
tente a origem ao longo da parábola, o que acontece com
? Ele tende a uma posição limite? Se sim, encontre-a.
[Sugestão: Seja
o ponto médio de OP , basta considerar que as retas OP e MQ são perpendiculares e relacionas seus coeficientes angulares e encontrar as coordenas de Q e depois tomar o limite quando x tende a 0]
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma parábola dada por
e um ponto
que está sobre essa parábola. A partir de
, traçamos a reta
, onde
é a origem (0,0). Depois, encontramos o ponto médio
de
e traçamos uma perpendicular a
que passa por
. Esse perpendicular vai cortar o eixo
no ponto
. O exercício quer saber o que acontece com
quando
se aproxima da origem ao longo da parábola, ou seja, quando as coordenadas de
tendem a (0,0). Queremos descobrir se
tende a uma posição específica e, se sim, qual é essa posição limite.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as coordenadas do ponto
na parábola
. Vamos chamar as coordenadas de
de
. Como
é a origem, suas coordenadas são
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as coordenadas do ponto médio
de
. A fórmula para encontrar o ponto médio entre dois pontos
e
é:
Aplicando isso aos pontos
e
, temos:
Passo 4
Em seguida, precisamos encontrar a equação da reta
. A inclinação (coeficiente angular) da reta que passa pelos pontos
e
é dada por:
Para
, temos:
Então, a inclinação de
é
.
Passo 5
A reta perpendicular a
terá uma inclinação que é o negativo do inverso da inclinação de
. Ou seja:
Agora, sabemos que essa reta perpendicular passa pelo ponto médio
. Podemos usar a forma da equação da reta:
Substituindo os valores:
Simplificando dentro do parêntese:
Então:
Passo 6
Queremos encontrar o ponto
, que é onde essa reta perpendicular intercepta o eixo
. No eixo
,
. Substituindo
na equação da reta:
Portanto, as coordenadas de
são
.
Passo 7
Agora, vamos analisar o que acontece com
quando
tende à origem, ou seja, quando
tende a 0. Observamos que, independentemente do valor de
,
sempre está em
. Isso significa que, à medida que
se aproxima da origem,
tende a permanecer no mesmo ponto.
Resposta
O ponto
tende à posição limite
quando
se aproxima da origem ao longo da parábola
.