A figura abaixo mostra um ponto P sobre a parábola y = x^2 e um ponto Q onde a perpendicular que bissecta O P intercepta o eixo y. À medida que P tente a origem ao longo da parábola, o que acontece com Q ? Ele tende a uma posição limite? Se sim, encontre-a.
[Sugestão: Seja M o ponto médio de OP , basta considerar que as retas OP e MQ são perpendiculares e relacionas seus coeficientes angulares e encontrar as coordenas de Q e depois tomar o limite quando x tende a 0]

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma parábola dada por e um ponto que está sobre essa parábola. A partir de , traçamos a reta , onde é a origem (0,0). Depois, encontramos o ponto médio de e traçamos uma perpendicular a que passa por . Esse perpendicular vai cortar o eixo no ponto . O exercício quer saber o que acontece com quando se aproxima da origem ao longo da parábola, ou seja, quando as coordenadas de tendem a (0,0). Queremos descobrir se tende a uma posição específica e, se sim, qual é essa posição limite.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as coordenadas do ponto na parábola . Vamos chamar as coordenadas de de . Como é a origem, suas coordenadas são .

Passo 3

Agora, vamos encontrar as coordenadas do ponto médio de . A fórmula para encontrar o ponto médio entre dois pontos e é:
Aplicando isso aos pontos e , temos:

Passo 4

Em seguida, precisamos encontrar a equação da reta . A inclinação (coeficiente angular) da reta que passa pelos pontos e é dada por:
Para , temos:
Então, a inclinação de é .

Passo 5

A reta perpendicular a terá uma inclinação que é o negativo do inverso da inclinação de . Ou seja:
Agora, sabemos que essa reta perpendicular passa pelo ponto médio . Podemos usar a forma da equação da reta:
Substituindo os valores:
Simplificando dentro do parêntese:
Então:

Passo 6

Queremos encontrar o ponto , que é onde essa reta perpendicular intercepta o eixo . No eixo , . Substituindo na equação da reta:
Portanto, as coordenadas de são .

Passo 7

Agora, vamos analisar o que acontece com quando tende à origem, ou seja, quando tende a 0. Observamos que, independentemente do valor de , sempre está em . Isso significa que, à medida que se aproxima da origem, tende a permanecer no mesmo ponto.

Resposta

O ponto tende à posição limite quando se aproxima da origem ao longo da parábola .

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