Resolva as equações pelo método do fator integrante e obtenha as soluções explícitas:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
usando o método do fator integrante. A matéria envolvida aqui é equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar reorganizar a equação no formato padrão e encontrar o fator integrante que vai nos ajudar a simplificá-la.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações diferenciais lineares, que é:
No nosso caso, a equação dada é
. Vamos rearranjar para ficar igual ao formato padrão:
Aqui, identificamos que:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
. Ou seja:
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação em relação a
:
O lado esquerdo simplifica para:
Passo 6
Vamos resolver a integral do lado direito:
Podemos dividir a integral:
Primeiro, resolvemos
usando integração por partes:
Aplicando integração por partes:
Agora, resolvemos
:
Juntando tudo:
Passo 7
Voltando à equação original após a integração:
Vamos isolar
multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
A solução explícita da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Resolva a equação diferencial dada por separação de variáveis e obtenha a solução explícita
do PVI:
Use a regra da cadeia para determinar
e
, sendo dados:
(b)
(b)
Existe um número real que é exatamente uma unidade a mais do que o seu cubo? (Em caso de resposta afirmativa, forneça-o com três casas decimais de precisão.)
A equação seguinte é exata em todo o plano XY. Determine a solucão explícita
: