Resolva as equações pelo método do fator integrante e obtenha as soluções explícitas: y' = 2y + x + 5, x > 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial usando o método do fator integrante. A matéria envolvida aqui é equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar reorganizar a equação no formato padrão e encontrar o fator integrante que vai nos ajudar a simplificá-la.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações diferenciais lineares, que é:
No nosso caso, a equação dada é . Vamos rearranjar para ficar igual ao formato padrão:
Aqui, identificamos que:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto . Ou seja:

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação em relação a :
O lado esquerdo simplifica para:

Passo 6

Vamos resolver a integral do lado direito:
Podemos dividir a integral:
Primeiro, resolvemos usando integração por partes:
Aplicando integração por partes:
Agora, resolvemos :
Juntando tudo:

Passo 7

Voltando à equação original após a integração:
Vamos isolar multiplicando ambos os lados por :

Resposta

A solução explícita da equação diferencial é:

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