Se a equação vetorial da curva C for sigma(t) = 2 sen(t) i + sen(2t) j, encontre o cosseno do ângulo entre os vetores sigma(pi / 6) e T(pi / 6)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá a equação vetorial de uma curva , que é . O objetivo é encontrar o cosseno do ângulo entre dois vetores específicos na curva quando : o vetor posição e o vetor tangente . Para resolver isso, vamos precisar entender de cálculo vetorial, especialmente sobre derivadas e ângulos entre vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o vetor posição . Isso é direto, basta substituir na equação da curva:
Sabemos que e . Então:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o vetor tangente , que é a derivada da função em relação a :
Derivando cada componente:
Agora, vamos calcular :
Sabendo que e :

Passo 4

Agora que temos os dois vetores, e , vamos calcular o cosseno do ângulo entre eles. A fórmula para o cosseno do ângulo entre dois vetores e é:
Primeiro, calculamos o produto interno (ponto) dos vetores:
Agora, as normas dos vetores:

Passo 5

Agora, substituímos esses valores na fórmula do cosseno:

Resposta

O cosseno do ângulo entre os vetores e é .

Exercícios relacionados

Encontre o comprimento de arco da curva,
sigma(t) = (2 - 3t)i + (4t - 1)j + t^2k de t = 0 a t = 5/2
Nos exercícios a seguir, encontre o comprimento do arco dado.
(a) x = t^2/2 + t, y = t^2/2 - t; de t = 0 a t = 1
(b) x = 3 t^2, y = 2 t^3; de t = 0 a t = 3
© x = t^2 + 2t, y = t^2 - 2t; de t = 0 a t = 2
(d) x = t^3 + t, y = 3t^2; de t = -2 a t = 0
Encontre o triedro móvel e a curvatura no ponto onde t = 1 da cúbica retorcida
sigma(t) = t i + t^2 j + t^3 k
circledast Um projétil é atirado de uma arma com um ângulo de elevação cuja medida em radianos é pi / 6. Sua velocidade na boca da arma é 480 m/s. Encontre (a) o vetor posição do projétil em qualquer instante; (b) o tempo de voo; © o alcance; (d) a altura máxima; (e) o vetor velocidade no impacto; (f) o vetor posição e o vetor velocidade em 2 s; (g) a velocidade escalar em 2 s; e (h) a equação cartesiana da curva percorrida pelo projétil.