Se a equação vetorial da curva for , encontre o cosseno do ângulo entre os vetores e
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá a equação vetorial de uma curva , que é . O objetivo é encontrar o cosseno do ângulo entre dois vetores específicos na curva quando : o vetor posição e o vetor tangente . Para resolver isso, vamos precisar entender de cálculo vetorial, especialmente sobre derivadas e ângulos entre vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o vetor posição . Isso é direto, basta substituir na equação da curva:
Sabemos que e . Então:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o vetor tangente , que é a derivada da função em relação a :
Derivando cada componente:
Agora, vamos calcular :
Sabendo que e :
Passo 4
Agora que temos os dois vetores, e , vamos calcular o cosseno do ângulo entre eles. A fórmula para o cosseno do ângulo entre dois vetores e é:
Primeiro, calculamos o produto interno (ponto) dos vetores:
Agora, as normas dos vetores:
Passo 5
Agora, substituímos esses valores na fórmula do cosseno: