Uma equação vetorial pode ser reduzida a forma
. A partir disso, mostre que a equação vetorial única e equivalente a três equações escalares. Admitindo a validade da segunda lei de Newton,
ma, como uma equação vetorial, isso significa que ax depende somente de Fx e é independente de Fy e Fz.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre equações vetoriais e como elas se relacionam com equações escalares. A gente vai usar conceitos de álgebra vetorial e a segunda lei de Newton, que diz que força é igual a massa vezes a aceleração (
). Para resolver, vamos dividir a equação vetorial em componentes e mostrar que cada componente resulta em uma equação escalar separada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma equação vetorial. Uma equação vetorial como
significa que os vetores
e
são iguais em todas as suas componentes. Se a gente olhar para essas componentes nas direções
,
e
, a gente pode escrever três equações separadas:
Passo 3
Agora, aplicando isso à segunda lei de Newton,
, que também é uma equação vetorial. Vamos considerar as componentes das forças e das acelerações:
Passo 4
O enunciado diz que
depende somente de
e é independente de
e
. Observando as equações acima, vemos que cada componente da aceleração (
,
,
) está relacionada apenas à sua respectiva componente da força (
,
,
). Ou seja,
só está ligada a
, e não a
ou
.
Resposta
Portanto, mostramos que uma equação vetorial única como
se desdobra em três equações escalares separadas, e especificamente, a componente
da aceleração depende apenas de
, sendo independente de
e
.
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Suponha que você esteja fazendo um modelo em escala do sistema solar mostrando os oito planetas e com cada planeta na sua posição mais distante do Sol. Usando uma bolinha de gude de 10 mm de raio para Mercúrio, quão longe do Sol você deve colocar Netuno, o planeta mais externo do sistema?
Dados: raio de Mercúrio , semieixo maior de Netuno
, excentricidade da órbita de Netuno
.
Dados: raio de Mercúrio
(a) Mostre que a grandeza de um vetor
, e independente da orientação do sistema de coordenadas rotacionado.
isto é, independente do ângulo de rotação
.
(b) Em um ponto dado, A define um ângulo
relativo ao eixo
positivo e um ângulo
relativo ao eixo x
(b) Em um ponto
G: A distância entre os centros de uma esfera de chumbo de 200 g e uma esfera de chumbo de 800 g é de
. Um objeto de
é colocado
do centro da esfera de 800 g ao longo da linha juntando os centros das duas esferas. Ignorando todas as fontes de força gravitacional, exceto as duas esferas, calcule a força gravitacional exercida sobre o objeto.
L: Suponha que um buraco seja feito no centro da Terra. Eu deixo cair uma pequena massa neste buraco e depois de algum tempo vejo-a emergindo no lado oposto da Terra. A massa então cai de volta novamente e continua a oscilar. Encontre o período dessa oscilação. Indique claramente todas as suposições feitas. Se o diâmetro do furo for uma fração significativa do tamanho da Terra isso afetaria sua resposta? Se sim, como?