(a) Mostre que a grandeza de um vetor A, A=(A^2 x+A^2 y)^1 / 2, e independente da orientação do sistema de coordenadas rotacionado.
(A x^2+A y^2)^1 / 2=(A^prime x^2+A^prime y^2)^1 / 2
isto é, independente do ângulo de rotação varphi.
(b) Em um ponto (x, y) dado, A define um ângulo alpha relativo ao eixo x positivo e um ângulo alpha^prime relativo ao eixo x

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente tem um vetor com componentes e em um sistema de coordenadas. A questão quer que a gente mostre que a magnitude desse vetor, que é , não muda se a gente rotacionar o sistema de coordenadas. Basicamente, independente de como a gente gira o sistema, o tamanho do vetor continua o mesmo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de trigonometria e matrizes de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a rotação de coordenadas. Quando a gente rotaciona o sistema de coordenadas em um ângulo A'x = Ax cosvarphi + Ay sinvarphi , as novas componentes A'y = -Ax sinvarphi + Ay cosvarphi e do vetor são dadas por:
Essas fórmulas vêm da matriz de rotação que transforma as componentes do vetor para o novo sistema rotacionado.

Passo 3

Agora, vamos calcular a magnitude do vetor no sistema rotacionado usando |A'| = raizA'x^2 + A'y^2 = raiz(Ax cosvarphi + Ay sinvarphi)^2 + (-Ax sinvarphi + Ay cosvarphi)^2 e |A'| = raizAx^2 cos^2varphi + 2 Ax Ay cosvarphi sinvarphi + Ay^2 sin^2varphi + Ax^2 sin^2varphi - 2 Ax Ay sinvarphi cosvarphi + Ay^2 cos^2varphi :
Expandindo os termos dentro da raiz, temos:

Passo 4

Observando os termos, notamos que os termos cruzados |A'| = raizAx^2 (cos^2varphi + sin^2varphi) + Ay^2 (sin^2varphi + cos^2varphi) e |A'| = raizAx^2 + Ay^2 se cancelam. Então, sobra:
Sabemos que , então:

Resposta

Portanto, mostramos que , ou seja, a magnitude do vetor é independente da rotação do sistema de coordenadas.

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