(a) Mostre que a grandeza de um vetor , e independente da orientação do sistema de coordenadas rotacionado.
isto é, independente do ângulo de rotação .
(b) Em um ponto dado, A define um ângulo relativo ao eixo positivo e um ângulo relativo ao eixo x

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente tem um vetor com componentes e em um sistema de coordenadas. A questão quer que a gente mostre que a magnitude desse vetor, que é , não muda se a gente rotacionar o sistema de coordenadas. Basicamente, independente de como a gente gira o sistema, o tamanho do vetor continua o mesmo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de trigonometria e matrizes de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a rotação de coordenadas. Quando a gente rotaciona o sistema de coordenadas em um ângulo , as novas componentes e do vetor são dadas por:
Essas fórmulas vêm da matriz de rotação que transforma as componentes do vetor para o novo sistema rotacionado.

Passo 3

Agora, vamos calcular a magnitude do vetor no sistema rotacionado usando e :
Expandindo os termos dentro da raiz, temos:

Passo 4

Observando os termos, notamos que os termos cruzados e se cancelam. Então, sobra:
Sabemos que , então:

Resposta

Portanto, mostramos que , ou seja, a magnitude do vetor é independente da rotação do sistema de coordenadas.

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