(a) Mostre que a grandeza de um vetor
, e independente da orientação do sistema de coordenadas rotacionado.
isto é, independente do ângulo de rotação
.
(b) Em um ponto
dado, A define um ângulo
relativo ao eixo
positivo e um ângulo
relativo ao eixo x
(b) Em um ponto
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente tem um vetor
com componentes
e
em um sistema de coordenadas. A questão quer que a gente mostre que a magnitude desse vetor, que é
, não muda se a gente rotacionar o sistema de coordenadas. Basicamente, independente de como a gente gira o sistema, o tamanho do vetor continua o mesmo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de trigonometria e matrizes de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a rotação de coordenadas. Quando a gente rotaciona o sistema de coordenadas em um ângulo
, as novas componentes
e
do vetor
são dadas por:
Essas fórmulas vêm da matriz de rotação que transforma as componentes do vetor para o novo sistema rotacionado.
Passo 3
Agora, vamos calcular a magnitude do vetor no sistema rotacionado usando
e
:
Expandindo os termos dentro da raiz, temos:
Passo 4
Observando os termos, notamos que os termos cruzados
e
se cancelam. Então, sobra:
Sabemos que
, então:
Resposta
Portanto, mostramos que
, ou seja, a magnitude do vetor
é independente da rotação do sistema de coordenadas.