Suponha que você esteja fazendo um modelo em escala do sistema solar mostrando os oito planetas e com cada planeta na sua posição mais distante do Sol. Usando uma bolinha de gude de 10 mm de raio para Mercúrio, quão longe do Sol você deve colocar Netuno, o planeta mais externo do sistema?
Dados: raio de Mercúrio =2,440 times 10^6 m, semieixo maior de Netuno =4,498 times 10^12 m, excentricidade da órbita de Netuno =0,01.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa fazer um modelo em escala do sistema solar, com Mercúrio representado por uma bolinha de gude de 10 mm de raio. O desafio é descobrir quão longe do Sol devemos colocar Netuno nesse modelo. Para isso, vamos usar conceitos de escala e proporcionalidade, além de entender um pouquinho sobre as órbitas dos planetas.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir qual é a escala que estamos usando. Temos o raio real de Mercúrio, que é S = Medida no modeloMedida real metros, e no modelo, queremos representá-lo com uma bolinha de 10 mm de raio. A escala é a relação entre a medida real e a medida do modelo.
A escala ( S = 10 mm2,440 times 10^6 m ) é dada por:
Substituindo os valores:

Passo 3

Antes de calcular, vamos converter tudo para a mesma unidade. Vamos deixar tudo em metros para facilitar.
Sabemos que 10 mm = 0,01 metros. Então:
S = 0,01 m2,440 times 10^6 m = 0,012,440 times 10^6 approx 4,098 times 10^-9
Isso significa que a cada metro real, no modelo, temos metros.

Passo 4

Agora, vamos calcular a distância real máxima de Netuno em sua órbita, que é o afélio. O afélio ( ra = a(1 + e) ) é dado por:
ra = 4,498 times 10^12 m times (1 + 0,01) = 4,498 times 10^12 m times 1,01 = 4,54398 times 10^12 m
Onde:
  • é o semieixo maior da órbita,
  • é a excentricidade.
Substituindo os valores:

Passo 5

Agora, vamos aplicar a escala que encontramos para descobrir a distância de Netuno no modelo.
A distância no modelo ( rmodelo = ra times S = 4,54398 times 10^12 m times 4,098 times 10^-9 ) é:
rmodelo approx 4,54398 times 10^12 times 4,098 times 10^-9 = 18,583 m
Calculando:

Passo 6

Como 18,583 metros é uma distância muito grande para um modelo doméstico, vamos converter para centímetros ou milímetros para facilitar a visualização.
Convertendo para centímetros:
18,583 m = 1.858,3 cm
Ou para milímetros:
18,583 m = 18.583 mm

Resposta

Então, para o nosso modelo em escala, Netuno deve ser colocado aproximadamente a 18.583 metros do Sol.

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