Obtenha os pontos da reta r que equidistam de A e B.
(b) r: X=(0,0,4)+lambda(4,2,-3), A=(2,2,5) e B=(0,0,1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar os pontos na reta que estão exatamente à mesma distância dos pontos e . Esse tipo de problema está ligado ao conteúdo de geometria analítica, onde trabalhamos com coordenadas e equações para descrever pontos e retas no espaço. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula da distância entre pontos e a equação paramétrica da reta.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação da reta X = (0, 0, 4) + lambda (4, 2, -3) de forma mais clara. A reta está dada por:
Isso significa que qualquer ponto na reta pode ser encontrado variando o parâmetro .

Passo 3

Vamos expressar as coordenadas de X = (x, y, z) = (0 + 4lambda, , 0 + 2lambda, , 4 - 3lambda) = (4lambda, , 2lambda, , 4 - 3lambda) em termos de :

Passo 4

Agora, vamos escrever as fórmulas das distâncias de |X - A| = raiz(x - 2)^2 + (y - 2)^2 + (z - 5)^2 para |X - B| = raiz(x - 0)^2 + (y - 0)^2 + (z - 1)^2 e usando a fórmula da distância entre dois pontos no espaço:

Passo 5

Como queremos que essas duas distâncias sejam iguais, igualamos as duas expressões:
raiz(4lambda - 2)^2 + (2lambda - 2)^2 + (4 - 3lambda - 5)^2 = raiz(4lambda)^2 + (2lambda)^2 + (4 - 3lambda - 1)^2

Passo 6

Para facilitar, vamos eliminar as raízes quadradas elevando ambos os lados ao quadrado:
(4lambda - 2)^2 + (2lambda - 2)^2 + (-3lambda - 1)^2 = (4lambda)^2 + (2lambda)^2 + ( -3lambda + 3)^2

Passo 7

Vamos expandir os termos quadrados:
(16lambda^2 - 16lambda + 4) + (4lambda^2 - 8lambda + 4) + (9lambda^2 + 6lambda + 1) = 16lambda^2 + 4lambda^2 + (9lambda^2 - 18lambda + 9)

Passo 8

Somando os termos do lado esquerdo:
16lambda^2 - 16lambda + 4 + 4lambda^2 - 8lambda + 4 + 9lambda^2 + 6lambda + 1 = 29lambda^2 - 18lambda + 9
E do lado direito:
16lambda^2 + 4lambda^2 + 9lambda^2 - 18lambda + 9 = 29lambda^2 - 18lambda + 9

Passo 9

Observamos que os dois lados são iguais:
29lambda^2 - 18lambda + 9 = 29lambda^2 - 18lambda + 9
Isso significa que qualquer valor de satisfaz a equação, ou seja, todos os pontos da reta estão à mesma distância de e .

Resposta

Todos os pontos da reta são equidistantes de e . Portanto, qualquer ponto na reta satisfaz a condição.

Exercícios relacionados