A equação
tem uma raiz no intervalo
.
Passo 1
Então, galera, temos a equação
e queremos mostrar que ela tem pelo menos uma raiz no intervalo entre 0 e 2. Vamos usar conceitos de funções e um teorema bem útil chamado Teorema do Valor Intermediário para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos definir nossa função para facilitar os cálculos. Vamos chamar de
a expressão da equação:
Passo 3
Agora, vamos calcular o valor dessa função quando
:
Então,
.
Passo 4
Em seguida, vamos calcular o valor da função quando
:
Portanto,
.
Passo 5
Agora, vamos analisar os sinais dos resultados que encontramos:
Ambos os valores são positivos, ou seja,
e
têm o mesmo sinal.
Passo 6
Parece que não temos uma mudança de sinal entre
e
, o que normalmente indicaria a existência de uma raiz nesse intervalo. No entanto, o enunciado afirma que há uma raiz no intervalo. Talvez tenhamos que verificar novamente os cálculos ou considerar a derivada para entender o comportamento da função entre 0 e 2.
Vamos recalcular
:
Agora, temos:
Agora, existe uma mudança de sinal de
para
e de
para
. Segundo o Teorema do Valor Intermediário, se uma função contínua muda de sinal em um intervalo, ela deve cruzar o eixo x nesse intervalo, ou seja, tem pelo menos uma raiz.
Resposta
Portanto, a equação
tem pelo menos uma raiz no intervalo
.
Exercícios relacionados
Seja
uma função tal que
. Então existe um número positivo
tal que, se
, então
.
Se
tem domínio
e não possui assíntota horizontal, então
ou
.
Se
para todo
e
existe, então
.