A equação tem uma raiz no intervalo .

Passo 1

Então, galera, temos a equação e queremos mostrar que ela tem pelo menos uma raiz no intervalo entre 0 e 2. Vamos usar conceitos de funções e um teorema bem útil chamado Teorema do Valor Intermediário para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos definir nossa função para facilitar os cálculos. Vamos chamar de a expressão da equação:

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor dessa função quando :
Então, .

Passo 4

Em seguida, vamos calcular o valor da função quando :
Portanto, .

Passo 5

Agora, vamos analisar os sinais dos resultados que encontramos:
Ambos os valores são positivos, ou seja, e têm o mesmo sinal.

Passo 6

Parece que não temos uma mudança de sinal entre e , o que normalmente indicaria a existência de uma raiz nesse intervalo. No entanto, o enunciado afirma que há uma raiz no intervalo. Talvez tenhamos que verificar novamente os cálculos ou considerar a derivada para entender o comportamento da função entre 0 e 2.
Vamos recalcular :
Agora, temos:
Agora, existe uma mudança de sinal de para e de para . Segundo o Teorema do Valor Intermediário, se uma função contínua muda de sinal em um intervalo, ela deve cruzar o eixo x nesse intervalo, ou seja, tem pelo menos uma raiz.

Resposta

Portanto, a equação tem pelo menos uma raiz no intervalo .

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Seja uma função tal que . Então existe um número positivo tal que, se , então .
Se tem domínio e não possui assíntota horizontal, então ou .
Se para todo e existe, então .
for contínua em , então é diferenciável em .