Seja f uma função tal que lim x 0 f(x)=6. Então existe um número positivo de tal que, se 0<|x|, então |f(x)-6|<1.

Passo 1

Estamos lidando com um conceito de cálculo chamado limite. A questão nos diz que, quando se aproxima de 0, a função se aproxima de 6. Nosso objetivo é mostrar que existe um número positivo tal que, se estiver perto o suficiente de 0 (mas diferente de 0), então a diferença entre e 6 será menor que 1. Para isso, vamos usar a definição formal de limite.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição formal de limite:
limx to a f(x) = L
significa que para todo número positivo , existe um número positivo tal que, se , então .

Passo 3

No nosso exercício, temos:
limx to 0 f(x) = 6
Aqui, |f(x) - 6| < 1 e . Queremos garantir que:
Ou seja, queremos que a diferença entre e 6 seja menor que 1. Na definição, isso corresponde a escolher .

Passo 4

Aplicando a definição com 0 < |x| < de, precisamos encontrar um |f(x) - 6| < 1 tal que, sempre que:
então:

Passo 5

A definição do limite nos garante que tal existe para qualquer , incluindo . Embora não saibamos o valor exato de sem conhecer a função , sabemos que pelo menos um valor positivo de satisfaz essa condição.

Resposta

Existe um número positivo tal que, se , então .

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