Seja uma função tal que . Então existe um número positivo tal que, se , então .

Passo 1

Estamos lidando com um conceito de cálculo chamado limite. A questão nos diz que, quando se aproxima de 0, a função se aproxima de 6. Nosso objetivo é mostrar que existe um número positivo tal que, se estiver perto o suficiente de 0 (mas diferente de 0), então a diferença entre e 6 será menor que 1. Para isso, vamos usar a definição formal de limite.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição formal de limite:
significa que para todo número positivo , existe um número positivo tal que, se , então .

Passo 3

No nosso exercício, temos:
Aqui, e . Queremos garantir que:
Ou seja, queremos que a diferença entre e 6 seja menor que 1. Na definição, isso corresponde a escolher .

Passo 4

Aplicando a definição com , precisamos encontrar um tal que, sempre que:
então:

Passo 5

A definição do limite nos garante que tal existe para qualquer , incluindo . Embora não saibamos o valor exato de sem conhecer a função , sabemos que pelo menos um valor positivo de satisfaz essa condição.

Resposta

Existe um número positivo tal que, se , então .

Exercícios relacionados

Se tem domínio e não possui assíntota horizontal, então ou .
Se existe, então .
A equação tem uma raiz no intervalo .
Se para todo e existe, então .