Se
para todo
e
existe, então
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que nos diz: se
para todo
e o limite
existe, então esse limite é maior que 1. Isso está relacionado ao conceito de limites em funções matemáticas. Para resolver, vamos usar as propriedades dos limites e a definição de funções que são sempre maiores que um determinado valor.
Passo 2
Primeiro, sabemos que
para todo
. Isso significa que, independentemente do valor de
, a função
nunca será menor ou igual a 1. Em termos matemáticos, isso nos dá uma inequação básica.
Passo 3
Agora, consideramos o limite
. A existência desse limite significa que, conforme
se aproxima de 0,
se aproxima de um valor específico, digamos
.
Passo 4
Sabemos que
para todo
. Então, à medida que
se aproxima de 0, os valores de
continuam sendo maiores que 1. Isso implica que o valor para o qual
está se aproximando, ou seja,
, também deve ser maior que 1.
Passo 5
Em termos de limites, se todos os valores de
em uma vizinhança ao redor de 0 (exceto possivelmente no próprio ponto 0) são maiores que 1, então o limite desses valores não pode ser menor ou igual a 1. Portanto,
.
Resposta
Portanto, concluímos que
.
Exercícios relacionados
A equação
tem uma raiz no intervalo
.
Seja
uma função tal que
. Então existe um número positivo
tal que, se
, então
.
Se
for contínua em
e
e
, então existe um número
tal que
e
.