Se para todo e existe, então .

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos diz: se para todo e o limite existe, então esse limite é maior que 1. Isso está relacionado ao conceito de limites em funções matemáticas. Para resolver, vamos usar as propriedades dos limites e a definição de funções que são sempre maiores que um determinado valor.

Passo 2

Primeiro, sabemos que para todo . Isso significa que, independentemente do valor de , a função nunca será menor ou igual a 1. Em termos matemáticos, isso nos dá uma inequação básica.

Passo 3

Agora, consideramos o limite . A existência desse limite significa que, conforme se aproxima de 0, se aproxima de um valor específico, digamos .

Passo 4

Sabemos que para todo . Então, à medida que se aproxima de 0, os valores de continuam sendo maiores que 1. Isso implica que o valor para o qual está se aproximando, ou seja, , também deve ser maior que 1.

Passo 5

Em termos de limites, se todos os valores de em uma vizinhança ao redor de 0 (exceto possivelmente no próprio ponto 0) são maiores que 1, então o limite desses valores não pode ser menor ou igual a 1. Portanto, .

Resposta

Portanto, concluímos que .

Exercícios relacionados

A equação tem uma raiz no intervalo .
Seja uma função tal que . Então existe um número positivo tal que, se , então .
for contínua em , então é diferenciável em .
Se for contínua em e e , então existe um número tal que e .