for contínua em
, então
é diferenciável em
.
Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado diz: “Se
for contínua em
, então
é diferenciável em
.” A gente vai trabalhar com continuidade e diferenciabilidade de funções. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e diferenciável em um ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função
é contínua em
se o limite de
quando
se aproxima de
é igual ao valor de
. Em termos de fórmula:
Passo 3
Agora, a gente lembra o que é diferenciabilidade. Uma função
é diferenciável em
se o limite que define a derivada existe. Ou seja:
Se esse limite existe, a função é diferenciável naquele ponto.
Passo 4
O enunciado sugere que se a função é contínua em
, então ela é diferenciável lá. Mas será que isso é sempre verdade? Na verdade, não. Continuidadade não garante diferenciabilidade. Ou seja, pode ter uma função que é contínua em
, mas não é diferenciável nesse ponto.
Passo 5
Para ilustrar isso, vamos pensar na função valor absoluto:
Essa função é contínua em todo ponto, inclusive em
. Mas, ela não é diferenciável em
, porque o limite que define a derivada não existe ali. O gráfico tem um “canto” em
, indicando que a derivada não está definida nesse ponto.
Resposta
Portanto, a afirmação "Se
for contínua em
, então
é diferenciável em
" não é verdadeira em geral. Continuidadade não implica necessariamente diferenciabilidade.
Exercícios relacionados
Se
para todo
e
existe, então
.
A equação
tem uma raiz no intervalo
.
Se
for contínua em
e
e
, então existe um número
tal que
e
.
Se
, então
não existe.