for contínua em , então é diferenciável em .

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado diz: “Se for contínua em , então é diferenciável em .” A gente vai trabalhar com continuidade e diferenciabilidade de funções. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e diferenciável em um ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em se o limite de quando se aproxima de é igual ao valor de . Em termos de fórmula:

Passo 3

Agora, a gente lembra o que é diferenciabilidade. Uma função é diferenciável em se o limite que define a derivada existe. Ou seja:
Se esse limite existe, a função é diferenciável naquele ponto.

Passo 4

O enunciado sugere que se a função é contínua em , então ela é diferenciável lá. Mas será que isso é sempre verdade? Na verdade, não. Continuidadade não garante diferenciabilidade. Ou seja, pode ter uma função que é contínua em , mas não é diferenciável nesse ponto.

Passo 5

Para ilustrar isso, vamos pensar na função valor absoluto:
Essa função é contínua em todo ponto, inclusive em . Mas, ela não é diferenciável em , porque o limite que define a derivada não existe ali. O gráfico tem um “canto” em , indicando que a derivada não está definida nesse ponto.

Resposta

Portanto, a afirmação "Se for contínua em , então é diferenciável em " não é verdadeira em geral. Continuidadade não implica necessariamente diferenciabilidade.

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Se para todo e existe, então .
A equação tem uma raiz no intervalo .
Se for contínua em e e , então existe um número tal que e .
Se , então não existe.