Se f for contínua em a, então f é diferenciável em a.

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado diz: “Se f for contínua em a, então f é diferenciável em a.” A gente vai trabalhar com continuidade e diferenciabilidade de funções. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e diferenciável em um ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função f é contínua em a se o limite de f(x) quando x se aproxima de a é igual ao valor de f(a). Em termos de fórmula:

Passo 3

Agora, a gente lembra o que é diferenciabilidade. Uma função f é diferenciável em a se o limite que define a derivada existe. Ou seja:
Se esse limite existe, a função é diferenciável naquele ponto.

Passo 4

O enunciado sugere que se a função é contínua em a, então ela é diferenciável lá. Mas será que isso é sempre verdade? Na verdade, não. Continuidadade não garante diferenciabilidade. Ou seja, pode ter uma função que é contínua em a, mas não é diferenciável nesse ponto.

Passo 5

Para ilustrar isso, vamos pensar na função valor absoluto:
Essa função é contínua em todo ponto, inclusive em 0. Mas, ela não é diferenciável em 0, porque o limite que define a derivada não existe ali. O gráfico tem um “canto” em 0, indicando que a derivada não está definida nesse ponto.

Resposta

Portanto, a afirmação "Se f for contínua em a, então f é diferenciável em a" não é verdadeira em geral. Continuidadade não implica necessariamente diferenciabilidade.

Exercícios relacionados