Para a equação
, calcule o centro e os raios principais da superfície quadrática.**
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar o centro e os raios principais da superfície quadrática dada pela equação:
Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente o método de completar o quadrado para transformar a equação geral da superfície em uma forma mais fácil de identificar o centro e os raios principais.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos semelhantes:
Aqui, separei os termos de
,
e
para facilitar o processo de completar o quadrado para cada variável.
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para o termo de
. A fórmula geral para completar o quadrado de
é:
Aplicando para
:
Passo 4
Vamos fazer o mesmo para o termo de
. Note que o coeficiente de
é 2, então consideramos
:
Passo 5
O termo de
já está em uma forma simples, mas vamos reorganizar a equação completa substituindo os resultados dos passos anteriores:
Passo 6
Vamos simplificar os termos constantes:
Passo 7
Para deixar a equação na forma padrão, vamos dividir todos os termos por
:
Simplificando as frações:
Passo 8
Agora, observamos que a equação está na forma padrão de um hiperboloide de uma folha, que é:
Comparando com nossa equação:
- Centro
: - Raios principais:
, ,
Resposta
O centro da superfície quadrática é
e os raios principais são: