Para a equação x^2+2 y^2-z^2+3 x+4 y-6=0, calcule o centro e os raios principais da superfície quadrática.**

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar o centro e os raios principais da superfície quadrática dada pela equação:
x^2 + 2 y^2 - z^2 + 3 x + 4 y -6 = 0
Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente o método de completar o quadrado para transformar a equação geral da superfície em uma forma mais fácil de identificar o centro e os raios principais.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos semelhantes:
x^2 + 3x + 2y^2 + 4y - z^2 - 6 = 0
Aqui, separei os termos de , e para facilitar o processo de completar o quadrado para cada variável.

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para o termo de a(x + b2a)^2 - b^24a . A fórmula geral para completar o quadrado de x^2 + 3x = (x + 32)^2 - (32)^2 = (x + 32)^2 - 94 é:
Aplicando para :

Passo 4

Vamos fazer o mesmo para o termo de 2y^2 + 4y = 2(y^2 + 2y) = 2((y + 1)^2 - 1) = 2(y + 1)^2 - 2 . Note que o coeficiente de é 2, então consideramos :

Passo 5

O termo de (x + 32)^2 - 94 + 2(y + 1)^2 - 2 - z^2 - 6 = 0 já está em uma forma simples, mas vamos reorganizar a equação completa substituindo os resultados dos passos anteriores:

Passo 6

Vamos simplificar os termos constantes:
(x + 32)^2 + 2(y + 1)^2 - z^2 - 94 - 2 - 6 = 0
(x + 32)^2 + 2(y + 1)^2 - z^2 - 94 - 8 = 0
(x + 32)^2 + 2(y + 1)^2 - z^2 = 94 + 8
(x + 32)^2 + 2(y + 1)^2 - z^2 = 414

Passo 7

Para deixar a equação na forma padrão, vamos dividir todos os termos por (x + 32)^2414 + 2(y + 1)^2414 - z^2414 = 1 :
(x + 32)^2414 + (y + 1)^2418 - z^2414 = 1
Simplificando as frações:

Passo 8

Agora, observamos que a equação está na forma padrão de um hiperboloide de uma folha, que é:
(x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 - (z - l)^2c^2 = 1
Comparando com nossa equação:
  • Centro :
  • Raios principais: , ,

Resposta

O centro da superfície quadrática é e os raios principais são:

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