Escreva as combinações lineares para os seguintes conjuntos de vetores.
é uma C.L de
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para escrever o vetor
como uma combinação linear dos vetores
e
. Isso significa que queremos encontrar dois números, vamos chamar de
e
, tais que:
Para resolver isso, vamos montar um sistema de equações usando as componentes dos vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação da combinação linear para cada componente do vetor:
Isso resulta em três equações:
-
Para a primeira componente:
-
Para a segunda componente:
-
Para a terceira componente:
Passo 3
Agora, temos um sistema de três equações com duas incógnitas (
e
). Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de
e
.
Primeiro, vamos resolver as duas primeiras equações:
-
→ Equação (1) -
→ Equação (2)
Vamos multiplicar a Equação (1) por 3 e a Equação (2) por 5 para facilitar a eliminação de uma das variáveis:
-
Equação (1) × 3:
-
Equação (2) × 5:
Passo 4
Agora, somamos as duas novas equações para eliminar o
:
Simplificando:
Então, dividindo ambos os lados por 19:
Passo 5
Com o valor de
encontrado, vamos substituir em uma das equações originais para encontrar
. Vamos usar a Equação (1):
Substituindo
:
Passo 6
Vamos verificar se esses valores satisfazem a terceira equação para garantir que está tudo certo:
Substituindo
e
:
Está certinho!
Resposta
A combinação linear é:
Ou seja,