Escreva as combinações lineares para os seguintes conjuntos de vetores.
w=(7,11,-26) é uma C.L de u=(5,-3,2) e v=(-2,5,-8)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para escrever o vetor w = (7, 11, -26) como uma combinação linear dos vetores u = (5, -3, 2) e v = (-2, 5, -8). Isso significa que queremos encontrar dois números, vamos chamar de a e b, tais que:
w = a cdot u + b cdot v
Para resolver isso, vamos montar um sistema de equações usando as componentes dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação da combinação linear para cada componente do vetor:
(7, 11, -26) = a cdot (5, -3, 2) + b cdot (-2, 5, -8)
Isso resulta em três equações:
  1. Para a primeira componente:
    5a - 2b = 7
  2. Para a segunda componente:
    -3a + 5b = 11
  3. Para a terceira componente:
    2a - 8b = -26

Passo 3

Agora, temos um sistema de três equações com duas incógnitas ( a e b). Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de a e b.
Primeiro, vamos resolver as duas primeiras equações:
  1. 5a - 2b = 7  → Equação (1)
  2. -3a + 5b = 11  → Equação (2)
Vamos multiplicar a Equação (1) por 3 e a Equação (2) por 5 para facilitar a eliminação de uma das variáveis:
  • Equação (1) × 3:
    15a - 6b = 21
  • Equação (2) × 5:
    -15a + 25b = 55

Passo 4

Agora, somamos as duas novas equações para eliminar o a:
15a - 6b + (-15a + 25b) = 21 + 55
Simplificando:
19b = 76
Então, dividindo ambos os lados por 19:
b = 4

Passo 5

Com o valor de b encontrado, vamos substituir em uma das equações originais para encontrar a. Vamos usar a Equação (1):
5a - 2b = 7
Substituindo b = 4:
5a - 2 cdot 4 = 7 5a - 8 = 7 5a = 15 a = 3

Passo 6

Vamos verificar se esses valores satisfazem a terceira equação para garantir que está tudo certo:
2a - 8b = -26
Substituindo a = 3 e b = 4:
2 cdot 3 - 8 cdot 4 = 6 - 32 = -26
Está certinho!

Resposta

A combinação linear é:
w = 3 cdot u + 4 cdot v
Ou seja,
w = 3u + 4v

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