Nos itens a seguir, sinalize quais determinam a equação de uma superfície quádrica e quais que não determinam, justificando suas escolhas.
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Passo 1
Então, temos uma equação que queremos analisar para ver se ela representa uma superfície quádra, que são formas geométricas definidas por equações de segundo grau. Vamos precisar entender um pouco sobre essas superfícies e como identificar se uma equação se encaixa nessa categoria.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar a equação que nos foi dada:
Aqui, vemos termos quadráticos em
e
, o que já é um indicativo de que estamos lidando com uma superfície quádra.
Passo 3
Agora, vamos lembrar que uma superfície quádra geral tem a forma:
No nosso caso, a equação não tem termos mistos como
,
, ou
, e também não há termos lineares em
. Isso simplifica nossa análise.
Passo 4
Vamos reescrever a equação para facilitar a identificação:
Comparando com a forma geral, vemos que temos apenas
e
com coeficientes diferentes.
Passo 5
Esse tipo de equação representa um hiperboloide de uma folha ou de duas folhas, dependendo dos sinais dos coeficientes dos termos quadráticos. No nosso caso, temos um termo positivo e outro negativo, o que caracteriza um hiperboloide de duas folhas.
Passo 6
Para confirmar, podemos dividir toda a equação por 12:
Essa é a forma padrão de um hiperboloide de duas folhas no eixo
.
Resposta
A equação
determina uma superfície quádra, especificamente um hiperboloide de duas folhas.