Para a equação
, determine o tipo de quadrica e verifique a existência de rotações que eliminem termos cruzados.**
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar a equação quadrática
. Nosso objetivo é identificar que tipo de quádricas estamos lidando e verificar se dá para usar rotações que eliminem termos cruzados. Para isso, vamos precisar conhecer alguns conceitos de geometria analítica, como completar quadrados e identificar os tipos de quádricas (como elipsoides, hiperboloides, etc.).
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação agrupando os termos semelhantes:
Isso facilita para trabalharmos com cada variável separadamente.
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para cada variável para simplificar a equação. Começando com
:
Para
:
E para
:
Passo 4
Substituindo essas expressões na equação original, temos:
Simplificando os termos constantes:
Passo 5
Isolando os termos de quadrado:
Agora, vamos reescrever a equação dividindo tudo por 30 para facilitar a identificação da quádricas:
Simplificando as frações:
Passo 6
Observando a forma final, percebemos que temos termos quadráticos com sinais diferentes:
Isso indica que estamos lidando com um hiperboloide de duas folhas, já que dois termos são positivos e um é negativo.
Passo 7
Quanto à eliminação de termos cruzados, note que na equação original não temos termos do tipo
,
ou
. Portanto, não há necessidade de rotações para eliminar termos cruzados, pois eles não existem na equação dada.
Resposta
A equação
representa um hiperboloide de duas folhas. Além disso, não há termos cruzados na equação, então não é necessário realizar rotações para eliminá-los.