Para a equação x^2-4 y^2+z^2+6 x-8 y+10 z=0, determine o tipo de quadrica e verifique a existência de rotações que eliminem termos cruzados.**

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar a equação quadrática . Nosso objetivo é identificar que tipo de quádricas estamos lidando e verificar se dá para usar rotações que eliminem termos cruzados. Para isso, vamos precisar conhecer alguns conceitos de geometria analítica, como completar quadrados e identificar os tipos de quádricas (como elipsoides, hiperboloides, etc.).

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação agrupando os termos semelhantes:
x^2 + 6x - 4y^2 - 8y + z^2 + 10z = 0
Isso facilita para trabalharmos com cada variável separadamente.

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para cada variável para simplificar a equação. Começando com x^2 + 6x = (x + 3)^2 - 9 :
-4y^2 - 8y = -4(y^2 + 2y) = -4[(y + 1)^2 - 1] = -4(y + 1)^2 + 4
Para z^2 + 10z = (z + 5)^2 - 25 :
E para :

Passo 4

Substituindo essas expressões na equação original, temos:
(x + 3)^2 - 9 - 4(y + 1)^2 + 4 + (z + 5)^2 - 25 = 0
Simplificando os termos constantes:
(x + 3)^2 - 4(y + 1)^2 + (z + 5)^2 - 30 = 0

Passo 5

Isolando os termos de quadrado:
(x + 3)^2 - 4(y + 1)^2 + (z + 5)^2 = 30
Agora, vamos reescrever a equação dividindo tudo por 30 para facilitar a identificação da quádricas:
(x + 3)^230 - 4(y + 1)^230 + (z + 5)^230 = 1
Simplificando as frações:
(x + 3)^230 - (y + 1)^27.5 + (z + 5)^230 = 1

Passo 6

Observando a forma final, percebemos que temos termos quadráticos com sinais diferentes:
(x + 3)^230 + (z + 5)^230 - (y + 1)^27.5 = 1
Isso indica que estamos lidando com um hiperboloide de duas folhas, já que dois termos são positivos e um é negativo.

Passo 7

Quanto à eliminação de termos cruzados, note que na equação original não temos termos do tipo , ou . Portanto, não há necessidade de rotações para eliminar termos cruzados, pois eles não existem na equação dada.

Resposta

A equação representa um hiperboloide de duas folhas. Além disso, não há termos cruzados na equação, então não é necessário realizar rotações para eliminá-los.

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