Resolva, usando o método de Gauss-Jordan, os sistemas:
l-2 x2+3 x3=0 3 x1+6 x2-3 x3=0 6 x1+6 x2+3 x3=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss-Jordan. A matéria aqui é Álgebra Linear, especificamente sobre resolução de sistemas lineares. Vamos precisar montar a matriz aumentada do sistema e aplicar operações para chegar à forma reduzida, facilitando encontrar os valores das incógnitas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma matricial. O sistema é:
-2 x2 + 3 x3 = 0 3 x1 + 6 x2 - 3 x3 = 0 6 x1 + 6 x2 + 3 x3 = 0
Transformando isso em uma matriz aumentada, temos:
0 & -2 & 3 & | & 0 3 & 6 & -3 & | & 0 6 & 6 & 3 & | & 0

Passo 3

O método de Gauss-Jordan envolve usar operações de linhas para transformar essa matriz em uma forma escalonada reduzida. O objetivo é ter 1’s na diagonal principal e 0’s abaixo e acima deles.
Começamos identificando o primeiro pivô, que é o primeiro número diferente de zero na primeira coluna. Neste caso, o pivô é 3 (na segunda linha). Vamos trocar a primeira e a segunda linha para facilitar:
3 & 6 & -3 & | & 0 0 & -2 & 3 & | & 0 6 & 6 & 3 & | & 0

Passo 4

Agora, vamos fazer o pivô ser 1 dividindo a primeira linha por 3:
1 & 2 & -1 & | & 0 0 & -2 & 3 & | & 0 6 & 6 & 3 & | & 0

Passo 5

Em seguida, queremos zerar o elemento abaixo do pivô na primeira coluna. Para isso, subtraímos 6 vezes a primeira linha da terceira linha:
6 - 6 times 1 = 0 6 - 6 times 2 = -6 3 - 6 times (-1) = 9 0 - 6 times 0 = 0
A matriz fica:
1 & 2 & -1 & | & 0 0 & -2 & 3 & | & 0 0 & -6 & 9 & | & 0

Passo 6

Agora, vamos trabalhar na segunda coluna. O pivô é -2 na segunda linha. Vamos tornar esse pivô igual a 1 dividindo a segunda linha por -2:
1 & 2 & -1 & | & 0 0 & 1 & -1.5 & | & 0 0 & -6 & 9 & | & 0

Passo 7

Vamos zerar os elementos acima e abaixo do pivô na segunda coluna. Primeiro, na terceira linha, adicionamos 6 vezes a segunda linha:
-6 + 6 times 1 = 0 9 + 6 times (-1.5) = 0
E na primeira linha, subtraímos 2 vezes a segunda linha:
2 - 2 times 1 = 0 -1 - 2 times (-1.5) = 2
A matriz fica:
1 & 0 & 2 & | & 0 0 & 1 & -1.5 & | & 0 0 & 0 & 0 & | & 0

Passo 8

Agora, observamos que a terceira linha é toda zeros, o que indica que temos infinidade de soluções. Podemos expressar uma das variáveis como parâmetro. Vamos escolher x1 + 2 t = 0 Rightarrow x1 = -2 t x2 - 1.5 t = 0 Rightarrow x2 = 1.5 t , onde é um número real qualquer.
Substituindo nas equações, temos:

Resposta

As soluções do sistema são:
x1 = -2 t, x2 = 1.5 t, x3 = t onde t in R

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