Use os limites fundamentais lim x 0 a^x-1x=ln a, com a>0, e lim x infty(1+1x)^x=e para calcular os limites abaixo.
(f) lim x 3 15^x-3-1x-3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular o limite . A matéria que estamos trabalhando aqui envolve limites, especificamente usando algumas fórmulas fundamentais de limites que a gente pode aplicar para resolver esse tipo de problema. Vamos precisar entender como transformar o limite dado para se encaixar nas fórmulas que já conhecemos.

Passo 2

Primeiro, vamos observar o que acontece quando se aproxima de 3. Se substituirmos por 3 na expressão , temos , ou seja, tende a 0 quando se aproxima de 3. Isso é legal porque a fórmula fundamental que vamos usar também lida com limites quando algo tende a 0.

Passo 3

Vamos fazer uma mudança de variável para simplificar a expressão. Vamos chamar lim x 3 15^x-3-1x-3 = lim h 0 15^h-1h . Assim, quando tende a 3, tende a 0. Substituindo na nossa expressão original, temos:
Agora, a expressão está na forma , onde e tende a 0, que é exatamente a forma do limite fundamental que vamos usar.

Passo 4

Lembrando da fórmula fundamental:
lim h 0 a^h-1h = ln a
Aqui, lim h 0 15^h-1h = ln 15 , então:

Resposta

O limite é .

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