Nas equações abaixo, determine a solução geral e o comportamento de
quando
. Se esse comportamento depender do valor inicial de
, descreva essa dependência.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que o exercício está pedindo é para resolver a equação diferencial
e descobrir como a solução se comporta quando
vai para o infinito. Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais de primeira ordem e entender como resolver esse tipo de equação passo a passo.
Passo 2
Primeiro, reconhecemos que a equação dada é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Esse tipo de equação tem a forma geral
. No nosso caso, podemos reescrever a equação como:
Aqui,
e
.
Passo 3
Para resolver essa equação, vamos usar o fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
, e a integral do lado direito é:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Então, temos:
Para encontrar
, dividimos ambos os lados por
:
Passo 7
Essa é a solução geral da equação diferencial:
Passo 8
Agora, vamos analisar o comportamento de
quando
tende ao infinito (
).
Sabemos que
tende a zero quando
vai para o infinito, então:
Passo 9
Isso significa que, independentemente do valor da constante
(que depende do valor inicial de
em
), a solução
sempre se aproxima de
quando
fica grande.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
. Conforme
tende ao infinito,
se aproxima de
, independentemente do valor inicial de
em
.