Nas equações abaixo, determine a solução geral e o comportamento de y quando t -> infinito. Se esse comportamento depender do valor inicial de y em t = 0, descreva essa dependência.
y' = -1 - 2y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que o exercício está pedindo é para resolver a equação diferencial e descobrir como a solução se comporta quando vai para o infinito. Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais de primeira ordem e entender como resolver esse tipo de equação passo a passo.

Passo 2

Primeiro, reconhecemos que a equação dada é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Esse tipo de equação tem a forma geral . No nosso caso, podemos reescrever a equação como:
Aqui, e .

Passo 3

Para resolver essa equação, vamos usar o fator integrante. O fator integrante é dado por:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
A integral do lado esquerdo é simplesmente , e a integral do lado direito é:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Então, temos:
Para encontrar , dividimos ambos os lados por :

Passo 7

Essa é a solução geral da equação diferencial:

Passo 8

Agora, vamos analisar o comportamento de quando tende ao infinito ( ).
Sabemos que tende a zero quando vai para o infinito, então:

Passo 9

Isso significa que, independentemente do valor da constante (que depende do valor inicial de em ), a solução sempre se aproxima de quando fica grande.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é . Conforme tende ao infinito, se aproxima de , independentemente do valor inicial de em .

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