Utilize integração por partes para calcular:
(d) integral(x+3) e^2 x d x Resposta: 12(x+3) e^2 x-14 e^2 x+c

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . A matéria que vamos usar aqui é integração por partes, uma técnica útil para integrar produtos de funções. Para isso, vamos precisar identificar duas partes na nossa integral que vão se encaixar na fórmula da integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher o que será e o que será na nossa integral. Geralmente, escolhemos como a parte que fica mais simples ao derivar, e como a parte que é fácil de integrar.

Passo 3

Na nossa integral u = x + 3 e dv = e^2x , dx , vou escolher:
Agora, vamos derivar e integrar .

Passo 4

Derivando du = ddx(x + 3) , dx = 1 , dx :
v = integral e^2x , dx = 12 e^2x
Integrando :
Isso porque a integral de é .

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral (x + 3) e^2x , dx = (x + 3) cdot 12 e^2x - integral 12 e^2x cdot 1 , dx
Simplificando:
= 12(x + 3) e^2x - 12 integral e^2x , dx

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral restante integral e^2x , dx = 12 e^2x + C :
12(x + 3) e^2x - 12 cdot 12 e^2x + C = 12(x + 3) e^2x - 14 e^2x + C
Substituindo de volta:

Resposta

integral (x + 3) e^2x , dx = 12(x + 3) e^2x - 14 e^2x + C

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