Uma lâmina ocupa o semi-disco inferior
. Determine o centro de massa se a densidade em qualquer ponto for proporcional à distância do ponto à origem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos o centro de massa de uma lâmina que ocupa a parte inferior de um semi-disco definido por
e
. O conteúdo envolvido aqui é o cálculo do centro de massa usando integrais duplas, considerando que a densidade em qualquer ponto é proporcional à distância desse ponto à origem. Vamos precisar usar coordenadas polares para facilitar os cálculos, já que a região é circular.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região que estamos trabalhando. A lâmina está no semi-disco inferior de raio 2, já que
implica
, e
indica que estamos na parte de baixo do círculo. A densidade
é proporcional à distância do ponto à origem, então podemos escrever:
Onde
é a constante de proporcionalidade e
é a distância ao centro.
Passo 3
O centro de massa (
) de uma região com densidade variável é dado por:
Observando a simetria da região em relação ao eixo
, vemos que para cada ponto
, existe um ponto
com a mesma densidade. Isso significa que as contribuições para
se cancelam, então:
Agora, precisamos calcular
.
Passo 4
Para calcular
, vamos usar coordenadas polares, onde
e
. A região
em coordenadas polares vai de
a
e de
a
(já que estamos no semi-disco inferior).
A densidade em coordenadas polares fica:
A integral para o denominador (massa total) é:
Calculando a integral interna:
Agora, a integral externa:
Agora, para o numerador da coordenada
:
Calculando a integral interna:
Agora, a integral externa:
Então, temos:
Resposta
O centro de massa da lâmina é dado pelas coordenadas
.