Uma lâmina ocupa o semi-disco inferior x^2 + y^2 <= 4, y <= 0. Determine o centro de massa se a densidade em qualquer ponto for proporcional à distância do ponto à origem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos o centro de massa de uma lâmina que ocupa a parte inferior de um semi-disco definido por e . O conteúdo envolvido aqui é o cálculo do centro de massa usando integrais duplas, considerando que a densidade em qualquer ponto é proporcional à distância desse ponto à origem. Vamos precisar usar coordenadas polares para facilitar os cálculos, já que a região é circular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região que estamos trabalhando. A lâmina está no semi-disco inferior de raio 2, já que implica , e indica que estamos na parte de baixo do círculo. A densidade é proporcional à distância do ponto à origem, então podemos escrever:
Onde é a constante de proporcionalidade e é a distância ao centro.

Passo 3

O centro de massa ( ) de uma região com densidade variável é dado por:
Observando a simetria da região em relação ao eixo , vemos que para cada ponto , existe um ponto com a mesma densidade. Isso significa que as contribuições para se cancelam, então:
Agora, precisamos calcular .

Passo 4

Para calcular , vamos usar coordenadas polares, onde e . A região em coordenadas polares vai de a e de a (já que estamos no semi-disco inferior).
A densidade em coordenadas polares fica:
A integral para o denominador (massa total) é:
Calculando a integral interna:
Agora, a integral externa:
Agora, para o numerador da coordenada :
Calculando a integral interna:
Agora, a integral externa:
Então, temos:

Resposta

O centro de massa da lâmina é dado pelas coordenadas .

Exercícios relacionados