Para estas equaçoes que começam em
, encontrar
e
e
.
(a)
(a)
Passo 1
Então, a gente tem uma equação diferencial que começa com a condição inicial
. A equação é
. Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação, que é a soma da solução da equação homogênea (
) e de uma solução particular (
). Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de resolução de equações diferenciais lineares de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, que é
. Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, e podemos resolvê-la encontrando um fator integrante.
Passo 3
O fator integrante (
) é dado por:
Multiplicamos a equação homogênea pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 4
Integrando ambos os lados em relação a
, temos:
Onde
é uma constante de integração. Resolvendo para
, obtemos a solução geral da equação homogênea:
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) para a equa��ão completa
. Como o lado direito é uma constante, assumimos que a solução particular também é uma constante. Vamos chamar essa constante de
.
Passo 6
Substituindo
na equação original:
Resolvendo para
:
Então, a solução particular é:
Passo 7
Agora, combinamos a solução homogênea e a solução particular para obter a solução geral da equação diferencial:
Passo 8
Aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor da constante
:
Resposta
Portanto, a solução da equação diferencial é: