Para estas equaçoes que começam em y(0) = 1, encontrar y_n(t) e yp(t) e y(t) = y_n(t) + y_p(t).
(a) y' - 9 y = 90

Passo 1

Então, a gente tem uma equação diferencial que começa com a condição inicial y(0) = 1. A equação é . Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação, que é a soma da solução da equação homogênea ( ) e de uma solução particular ( ). Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de resolução de equações diferenciais lineares de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, que é . Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, e podemos resolvê-la encontrando um fator integrante.

Passo 3

O fator integrante ( ) é dado por:
Multiplicamos a equação homogênea pelo fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 4

Integrando ambos os lados em relação a t, temos:
Onde C é uma constante de integração. Resolvendo para y, obtemos a solução geral da equação homogênea:

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( ) para a equa��ão completa . Como o lado direito é uma constante, assumimos que a solução particular também é uma constante. Vamos chamar essa constante de A.

Passo 6

Substituindo na equação original:
Resolvendo para A:
Então, a solução particular é:

Passo 7

Agora, combinamos a solução homogênea e a solução particular para obter a solução geral da equação diferencial:

Passo 8

Aplicamos a condição inicial y(0) = 1 para encontrar o valor da constante C:

Resposta

Portanto, a solução da equação diferencial é:

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