Para as equações abaixo, encontre as soluções e determine em que condições elas são reais e em que condições são complexas:
© , com

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver a equação , onde é um número real. Aqui estamos lidando com uma função quadrática dentro do valor absoluto. Para resolver isso, vamos precisar entender como lidar com valores absolutos e também como resolver equações quadráticas. Vamos dividir a equação em duas partes para facilitar a solução.

Passo 2

Primeiro, lembre-se que significa que ou , desde que . Aplicando isso à nossa equação:
Agora, temos duas equações quadráticas para resolver: e .

Passo 3

Vamos resolver cada uma das equações separadamente. Suponha que , onde , e são coeficientes reais.
Para :
Para :

Passo 4

Agora, para cada uma dessas equações quadráticas, vamos calcular o discriminante , que nos ajuda a determinar a natureza das soluções:
Para a primeira equação :
Para a segunda equação :

Passo 5

As soluções das equações quadráticas dependem do valor do discriminante:
  • Se , as soluções são reais e distintas.
  • Se , as soluções são reais e iguais.
  • Se , as soluções são complexas.
Vamos aplicar isso para cada caso:
Para :
  • Se , duas soluções reais distintas.
  • Se , uma solução real.
  • Se , duas soluções complexas.
Para :
  • Se , duas soluções reais distintas.
  • Se , uma solução real.
  • Se , duas soluções complexas.

Resposta

As soluções da equação são reais quando os discriminantes e são maiores ou iguais a zero. Isso ocorre quando:
  • Para :
  • Para :
Se qualquer um desses discriminantes for negativo, as soluções correspondentes serão complexas. Portanto:
  • As soluções são reais se e/ou .
  • As soluções são complexas se e .

Exercícios relacionados

Use algum teste apropriado para determinar se a série é convergente ou divergente:
Para as expressões do tipo abaixo, determine a expressão :
(f)
Use o Teste da Série Alternada para testar as séries: