Para as equações abaixo, encontre as soluções e determine em que condições elas são reais e em que condições são complexas:
©
, com
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver a equação
, onde
é um número real. Aqui estamos lidando com uma função quadrática dentro do valor absoluto. Para resolver isso, vamos precisar entender como lidar com valores absolutos e também como resolver equações quadráticas. Vamos dividir a equação em duas partes para facilitar a solução.
Passo 2
Primeiro, lembre-se que
significa que
ou
, desde que
. Aplicando isso à nossa equação:
Agora, temos duas equações quadráticas para resolver:
e
.
Passo 3
Vamos resolver cada uma das equações separadamente. Suponha que
, onde
,
e
são coeficientes reais.
Para
:
Para
:
Passo 4
Agora, para cada uma dessas equações quadráticas, vamos calcular o discriminante
, que nos ajuda a determinar a natureza das soluções:
Para a primeira equação
:
Para a segunda equação
:
Passo 5
As soluções das equações quadráticas dependem do valor do discriminante:
- Se
, as soluções são reais e distintas. - Se
, as soluções são reais e iguais. - Se
, as soluções são complexas.
Vamos aplicar isso para cada caso:
Para
:
- Se
, duas soluções reais distintas. - Se
, uma solução real. - Se
, duas soluções complexas.
Para
:
- Se
, duas soluções reais distintas. - Se
, uma solução real. - Se
, duas soluções complexas.
Resposta
As soluções da equação
são reais quando os discriminantes
e
são maiores ou iguais a zero. Isso ocorre quando:
- Para
: - Para
:
Se qualquer um desses discriminantes for negativo, as soluções correspondentes serão complexas. Portanto:
- As soluções são reais se
e/ou . - As soluções são complexas se
e .
Exercícios relacionados
Use algum teste apropriado para determinar se a série é convergente ou divergente:
Para as expressões do tipo
abaixo, determine a expressão
:
(f)
(f)
Use o Teste da Série Alternada para testar as séries: