Use algum teste apropriado para determinar se a série é convergente ou divergente: sumn=1^infty 1n+3^n

Passo 1

Ok, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. Temos que analisar se a série infinita converge ou diverge. Para isso, vamos usar o Teste de Comparação, que é uma ferramenta da Teoria das Séries que nos ajuda a comparar a série dada com outra que já sabemos se ela converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o termo geral da série: . Aqui, temos duas partes no denominador: e . Como cresce linearmente e cresce exponencialmente, para valores grandes de , domina completamente, ou seja, é muito maior que .

Passo 3

Com isso em mente, podemos simplificar o termo geral para algo que seja mais fácil de comparar. Como 1n + 3^n approx 13^n é muito maior que , podemos dizer que:
Agora, vamos usar o Teste de Comparação. Sabemos que a série é uma Série Geométrica com razão , que é menor que 1. Sabemos que séries geométricas com convergem.

Passo 4

Agora, vamos formalizar a compara��ão. Como para todo , e já que a série converge, pelo Teste de Comparação, a série original também converge.

Resposta

A série é convergente.

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