Use algum teste apropriado para determinar se a série é convergente ou divergente:
Passo 1
Ok, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. Temos que analisar se a série infinita
converge ou diverge. Para isso, vamos usar o Teste de Comparação, que é uma ferramenta da Teoria das Séries que nos ajuda a comparar a série dada com outra que já sabemos se ela converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o termo geral da série:
. Aqui, temos duas partes no denominador:
e
. Como
cresce linearmente e
cresce exponencialmente, para valores grandes de
,
domina completamente, ou seja,
é muito maior que
.
Passo 3
Com isso em mente, podemos simplificar o termo geral para algo que seja mais fácil de comparar. Como
é muito maior que
, podemos dizer que:
Agora, vamos usar o Teste de Comparação. Sabemos que a série
é uma Série Geométrica com razão
, que é menor que 1. Sabemos que séries geométricas com
convergem.
Passo 4
Agora, vamos formalizar a compara��ão. Como
para todo
, e já que a série
converge, pelo Teste de Comparação, a série original
também converge.
Resposta
A série
é convergente.
Exercícios relacionados
Para as expressões do tipo
abaixo, determine a expressão
:
(f)
(f)
Para as expressões do tipo
abaixo, determine a expressão
:
(a)
(a)
Para as equações abaixo, encontre as soluções e determine em que condições elas são reais e em que condições são complexas:
© , com
©