Use o Teste da Série Alternada para testar as séries: sumn=1^infty(-1)^n sen(pin)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para usarmos o Teste da Série Alternada para analisar a convergência da série . Isso significa que estaremos lidando com uma série que alterna os sinais dos termos e vamos verificar se ela converge ou não usando esse teste específico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série da forma sumn=1^infty (-1)^n bn converge se três condições forem satisfeitas:
  1. Os termos bn são positivos: Cada termo da série sem o fator alternado deve ser positivo.
  2. Os termos bn são decrescentes: A sequência bn deve estar diminuindo à medida que n aumenta.
  3. O limite de bn quando n tende ao infinito é zero: limn to infty bn = 0.
Vamos verificar cada uma dessas condições para a nossa série.

Passo 3

1. Os termos bn são positivos:
No nosso caso, . Sabemos que é positivo quando bn = sen(pin), e como sen(x) com 0 < x < pi está sempre nesse intervalo, temos que pin para todo n >= 1.
2. Os termos bn > 0 são decrescentes:
Vamos analisar como n >= 1 se comporta conforme bn aumenta. Observamos:
  • Para bn:
  • Para n:
  • Para n=1:
  • Para b1 = sen(pi) = 0:
Veja que a partir de n=2, os termos começam a diminuir à medida que b2 = sen(pi2) = 1 aumenta. Portanto, a sequência n=3 é decrescente a partir de um certo ponto.
3. O limite de b3 = sen(pi3) approx 0,866 quando n=4 tende ao infinito é zero:
Vamos calcular o limite:
À medida que b4 = sen(pi4) approx 0,707 cresce, n=2 tende a zero. Sabemos que quando n está próximo de zero. Portanto:

Resposta

Como todas as três condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas, concluímos que a série converge.

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