Use o Teste da Série Alternada para testar as séries:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para usarmos o Teste da Série Alternada para analisar a convergência da série . Isso significa que estaremos lidando com uma série que alterna os sinais dos termos e vamos verificar se ela converge ou não usando esse teste específico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série da forma
converge se três condições forem satisfeitas:
- Os termos
são positivos: Cada termo da série sem o fator alternado deve ser positivo. - Os termos
são decrescentes: A sequência deve estar diminuindo à medida que aumenta. - O limite de
quando tende ao infinito é zero: .
Vamos verificar cada uma dessas condições para a nossa série.
Passo 3
1. Os termos
são positivos:
No nosso caso, . Sabemos que é positivo quando
, e como
com
está sempre nesse intervalo, temos que
para todo
.
2. Os termos
são decrescentes:
Vamos analisar como
se comporta conforme
aumenta. Observamos:
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
:
Veja que a partir de
, os termos começam a diminuir à medida que
aumenta. Portanto, a sequência
é decrescente a partir de um certo ponto.
3. O limite de
quando
tende ao infinito é zero:
Vamos calcular o limite:
À medida que
cresce,
tende a zero. Sabemos que quando
está próximo de zero. Portanto:
Resposta
Como todas as três condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas, concluímos que a série converge.