Expresse os polinômios abaixo como produtos de termos
, onde
são suas raízes:
©
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Passo 1
Beleza, galera! A gente tem o polinômio
e precisa escrevê-lo como o produto de termos do tipo
, onde
são as raízes desse polinômio. Vamos usar o conteúdo de fatoração de polinômios e números complexos para resolver isso. Precisaremos encontrar as raízes da equação quadrática associada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar as raízes de um polinômio do segundo grau como esse, usamos a fórmula de Bhaskara. A fórmula é:
Aqui, nosso polinômio é
, então os coeficientes são:
Passo 3
Vamos calcular o discriminante da equação, que é a parte dentro da raiz quadrada na fórmula de Bhaskara:
.
Substituindo os valores:
Como o discriminante é negativo (
), sabemos que as raízes serão números complexos.
Passo 4
Agora, vamos encontrar as raízes usando a fórmula com o discriminante negativo:
Aqui,
é a unidade imaginária, onde
.
Passo 5
Simplificando as frações:
Então, as raízes são
e
.
Passo 6
Agora que temos as raízes, podemos escrever o polinômio como o produto de termos lineares
:
Resposta
Portanto, o polinômio pode ser expresso como:
Exercícios relacionados
Para as equações abaixo, encontre as soluções e determine em que condições elas são reais e em que condições são complexas:
(d) , com
(d)
Para as equações abaixo, encontre as soluções e determine em que condições elas são reais e em que condições são complexas:
(b)
(b)
Expresse os polinômios abaixo como produtos de termos
, onde
são suas raízes:
(f)
(f)
Expresse os polinômios abaixo como produtos de termos
, onde
são suas raízes:
(j)
(j)