Expresse os polinômios abaixo como produtos de termos , onde são suas raízes:
©

Passo 1

Beleza, galera! A gente tem o polinômio e precisa escrevê-lo como o produto de termos do tipo , onde são as raízes desse polinômio. Vamos usar o conteúdo de fatoração de polinômios e números complexos para resolver isso. Precisaremos encontrar as raízes da equação quadrática associada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar as raízes de um polinômio do segundo grau como esse, usamos a fórmula de Bhaskara. A fórmula é:
Aqui, nosso polinômio é , então os coeficientes são:

Passo 3

Vamos calcular o discriminante da equação, que é a parte dentro da raiz quadrada na fórmula de Bhaskara: .
Substituindo os valores:
Como o discriminante é negativo ( ), sabemos que as raízes serão números complexos.

Passo 4

Agora, vamos encontrar as raízes usando a fórmula com o discriminante negativo:
Aqui, é a unidade imaginária, onde .

Passo 5

Simplificando as frações:
Então, as raízes são e .

Passo 6

Agora que temos as raízes, podemos escrever o polinômio como o produto de termos lineares :

Resposta

Portanto, o polinômio pode ser expresso como:

Exercícios relacionados

Para as equações abaixo, encontre as soluções e determine em que condições elas são reais e em que condições são complexas:
(d) , com
Para as equações abaixo, encontre as soluções e determine em que condições elas são reais e em que condições são complexas:
(b)
Expresse os polinômios abaixo como produtos de termos , onde são suas raízes:
(f)
Expresse os polinômios abaixo como produtos de termos , onde são suas raízes:
(j)