Expresse os polinômios abaixo como produtos de termos x - c, onde c em C são suas raízes:
(f) x^3 + 2 x^2 + 5 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o polinômio . O objetivo aqui é fatorar esse polinômio em produtos de termos da forma , onde são as raízes do polinômio. Para isso, vamos precisar usar técnicas de fatoração e encontrar as raízes desse polinômio no conjunto dos números complexos .

Passo 2

Primeiro, vamos observar que todos os termos do polinômio têm um em comum. Então, podemos fatorar esse para simplificar:
Isso já nos deu um dos fatores: , que corresponde a uma raiz .

Passo 3

Agora, vamos focar no polinômio quadrático restante: . Para encontrar as raízes desse polinômio, usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e . Substituindo esses valores na fórmula:

Passo 4

Como temos uma raiz quadrada de um número negativo, vamos introduzir a unidade imaginária , onde . Então:
Substituindo de volta na fórmula:
Portanto, as raízes do polinômio quadrático são e .

Passo 5

Agora que encontramos todas as raízes do polinômio original, podemos expressá-lo como um produto de termos usando essas raízes:

Resposta

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