Expresse os polinômios abaixo como produtos de termos
, onde
são suas raízes:
(f)
(f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o polinômio
. O objetivo aqui é fatorar esse polinômio em produtos de termos da forma
, onde
são as raízes do polinômio. Para isso, vamos precisar usar técnicas de fatoração e encontrar as raízes desse polinômio no conjunto dos números complexos
.
Passo 2
Primeiro, vamos observar que todos os termos do polinômio têm um
em comum. Então, podemos fatorar esse
para simplificar:
Isso já nos deu um dos fatores:
, que corresponde a uma raiz
.
Passo 3
Agora, vamos focar no polinômio quadrático restante:
. Para encontrar as raízes desse polinômio, usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
. Substituindo esses valores na fórmula:
Passo 4
Como temos uma raiz quadrada de um número negativo, vamos introduzir a unidade imaginária
, onde
. Então:
Substituindo de volta na fórmula:
Portanto, as raízes do polinômio quadrático são
e
.
Passo 5
Agora que encontramos todas as raízes do polinômio original, podemos expressá-lo como um produto de termos
usando essas raízes:
Resposta
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Expresse os polinômios abaixo como produtos de termos
, onde
são suas raízes:
©
©
Para as equações abaixo, encontre as soluções e determine em que condições elas são reais e em que condições são complexas:
(d) , com
(d)
Expresse os polinômios abaixo como produtos de termos
, onde
são suas raízes:
(j)
(j)
Seja
, considerando
e
determine formas simplificadas para
(b) com
e
(b)