Para as equações abaixo:
I. Desenhe um campo de direções (sem auxílio de ferramenta computacional);
II. Identifique as soluções de equilíbrio;
III. Analise o comportamento do
, destacando se este comportamento depende do valor inicial
;
(e)
;
I. Desenhe um campo de direções (sem auxílio de ferramenta computacional);
II. Identifique as soluções de equilíbrio;
III. Analise o comportamento do
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício sobre a equação diferencial
. A gente vai trabalhar com análise de campo de direções, encontrar soluções de equilíbrio e ver o que acontece com
quando o tempo tende ao infinito, ou seja,
. Vamos precisar entender conceitos de equações diferenciais, como campos de direção e soluções de equilíbrio.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar o campo de direções. O campo de direções é uma representação gráfica que nos mostra a inclinação da solução da equação diferencial em cada ponto
. Para
, a inclinação depende apenas de
.
Por exemplo:
- Se
, então . A inclinação é horizontal. - Se
, digamos , então . A inclinação é positiva. - Se
, por exemplo , então . A inclinação é negativa.
Assim, ao desenhar vários pontos com diferentes valores de
, podemos visualizar como as soluções se comportam.
Passo 3
Agora, vamos identificar as soluções de equilíbrio. As soluções de equilíbrio são os valores de
onde
, ou seja, onde a solução não muda com o tempo.
Resolvendo
:
Então,
é a única solução de equilíbrio.
Passo 4
Por último, vamos analisar o comportamento de
e ver se isso depende do valor inicial
.
Observando a equação diferencial
:
- Se
, , então aumenta. - Se
, , então diminui. - Se
, , então permanece constante.
Isso significa que:
- Se começarmos com
, vai crescer sem limites, então . - Se começarmos com
, vai decrescer sem limites, então . - Se começarmos com
, permanece em 0.
Portanto, o comportamento de
no infinito depende do valor inicial
.
Resposta
A única solução de equilíbrio é
. Além disso,
depende do valor inicial
: se
,
tende ao infinito positivo; se
, tende ao infinito negativo; e se
,
permanece igual a zero.
Exercícios relacionados
Sejam
e
números reais quaisquer e
um número real positivo. Mostre que
se e somente se
.
Determine a ordem da equaçāo e verifique se ela é ou não linear:
Para as equações abaixo:
I. Desenhe um campo de direções (sem auxílio de ferramenta computacional);
II. Identifique as soluções de equilíbrio;
III. Analise o comportamento do , destacando se este comportamento depende do valor inicial
;
(f)
I. Desenhe um campo de direções (sem auxílio de ferramenta computacional);
II. Identifique as soluções de equilíbrio;
III. Analise o comportamento do
(f)
Em cada um dos itens abaixo, esboce o gráfico da função dada no intervalo
:
(a)
(a)