Para as equações abaixo:
I. Desenhe um campo de direções (sem auxílio de ferramenta computacional);
II. Identifique as soluções de equilíbrio;
III. Analise o comportamento do lim t infty y(t), destacando se este comportamento depende do valor inicial y(0)=y0;
(e) d yd t=e^y-1;

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício sobre a equação diferencial dydt = e^y - 1. A gente vai trabalhar com análise de campo de direções, encontrar soluções de equilíbrio e ver o que acontece com y(t) quando o tempo tende ao infinito, ou seja, limt to infty y(t). Vamos precisar entender conceitos de equações diferenciais, como campos de direção e soluções de equilíbrio.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar o campo de direções. O campo de direções é uma representação gráfica que nos mostra a inclinação da solução da equação diferencial em cada ponto (t, y). Para dydt = e^y - 1, a inclinação depende apenas de y.
Por exemplo:
  • Se y = 0, então dydt = e^0 - 1 = 1 - 1 = 0. A inclinação é horizontal.
  • Se y > 0, digamos y = 1, então dydt = e^1 - 1 approx 2.718 - 1 = 1.718. A inclinação é positiva.
  • Se y < 0, por exemplo y = -1, então dydt = e^-1 - 1 approx 0.368 - 1 = -0.632. A inclinação é negativa.
Assim, ao desenhar vários pontos com diferentes valores de y, podemos visualizar como as soluções se comportam.

Passo 3

Agora, vamos identificar as soluções de equilíbrio. As soluções de equilíbrio são os valores de y onde dydt = 0, ou seja, onde a solução não muda com o tempo.
Resolvendo e^y - 1 = 0:
e^y = 1 implies y = 0
Então, y = 0 é a única solução de equilíbrio.

Passo 4

Por último, vamos analisar o comportamento de limt to infty y(t) e ver se isso depende do valor inicial y(0) = y0.
Observando a equação diferencial dydt = e^y - 1:
  • Se y > 0, dydt > 0, então y(t) aumenta.
  • Se y < 0, dydt < 0, então y(t) diminui.
  • Se y = 0, dydt = 0, então y(t) permanece constante.
Isso significa que:
  • Se começarmos com y0 > 0, y(t) vai crescer sem limites, então limt to infty y(t) = +infty.
  • Se começarmos com y0 < 0, y(t) vai decrescer sem limites, então limt to infty y(t) = -infty.
  • Se começarmos com y0 = 0, y(t) permanece em 0.
Portanto, o comportamento de y(t) no infinito depende do valor inicial y0.

Resposta

A única solução de equilíbrio é y = 0. Além disso, limt to infty y(t) depende do valor inicial y0: se y0 > 0, y(t) tende ao infinito positivo; se y0 < 0, tende ao infinito negativo; e se y0 = 0, y(t) permanece igual a zero.

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Para as equações abaixo:
I. Desenhe um campo de direções (sem auxílio de ferramenta computacional);
II. Identifique as soluções de equilíbrio;
III. Analise o comportamento do lim t infty y(t), destacando se este comportamento depende do valor inicial y(0)=y0;
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Em cada um dos itens abaixo, esboce o gráfico da função dada no intervalo t ≥ 0 :
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