As equações abaixo são equações autônomas. Em cada item, determine os pontos de equilíbrio e classifique cada um deles como estável ou instável. Em seguida, esboce diversos gráficos das soluções.
Passo 1
Ok, vamos lá! Você me pediu para resolver a equação diferencial autônoma
, onde
e
. Nosso objetivo aqui é encontrar os pontos de equilíbrio dessa equação, classificar cada um como estável ou instável, e depois esboçar alguns gráficos das soluções. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais autônomas, pontos de equilíbrio e estabilidade desses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir os pontos de equilíbrio. Esses são os valores de
onde a derivada
é igual a zero, ou seja, onde a função não está mudando. Então, vamos resolver:
Podemos fatorar
:
Isso nos dá duas soluções:
Portanto, os pontos de equilíbrio são
e
.
Passo 3
Agora, vamos classificar cada ponto de equilíbrio como estável ou instável. Para isso, vamos analisar o comportamento da derivada em torno desses pontos.
Primeiro, derivamos a função
em relação a
:
A estabilidade de um ponto de equilíbrio depende do sinal de
nesse ponto:
- Se
, o ponto é estável. - Se
, o ponto é instável.
Vamos avaliar em cada ponto:
- Para
:
Como
, o ponto
é instável.
- Para
:
Como
, o ponto
é estável.
Passo 4
Agora, vamos esboçar os gráficos das soluções. Embora não possamos desenhar aqui, vou descrever como seriam esses gráficos no diagrama de fase.
-
Pontos de Equilíbrio:
-
(unstable): Será representado por um círculo aberto. -
(estável): Será representado por um círculo preenchido.
-
-
Setas Indicando o Comportamento:
- Para
: Como (já que e são positivos), as soluções aumentarão, indo para . - Para
: Aqui, . Como é negativo e é positivo (pois ), o produto é negativo. Portanto, as soluções diminuem em direção a . - Para
: Tanto quanto são negativos, então . As soluções aumentam em direção a .
- Para
-
Resumo Visual:
- As setas à direita de
apontam para cima (indo para ). - Entre
e , as setas apontam para a esquerda (indo para ). - À esquerda de
, as setas apontam para a direita (indo para ).
- As setas à direita de
Resposta
Os pontos de equilíbrio da equação
são
(instável) e
(estável). No diagrama de fase,
é representado por um círculo aberto com setas apontando para longe dele, indicando sua instabilidade. Já
é representado por um círculo preenchido com setas apontando para ele, mostrando que é um ponto estável. As soluções da equação se comportam de acordo com esses pontos, aumentando para
quando
e se aproximando de
quando
.