As equações abaixo são equações autônomas. Em cada item, determine os pontos de equilíbrio e classifique cada um deles como estável ou instável. Em seguida, esboce diversos gráficos das soluções. d y/d t = a y + b y^2, a > 0, b > 0, 0 < y0 < ∞

Passo 1

Ok, vamos lá! Você me pediu para resolver a equação diferencial autônoma , onde e . Nosso objetivo aqui é encontrar os pontos de equilíbrio dessa equação, classificar cada um como estável ou instável, e depois esboçar alguns gráficos das soluções. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais autônomas, pontos de equilíbrio e estabilidade desses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir os pontos de equilíbrio. Esses são os valores de onde a derivada é igual a zero, ou seja, onde a função não está mudando. Então, vamos resolver:
Podemos fatorar :
Isso nos dá duas soluções:
Portanto, os pontos de equilíbrio são e .

Passo 3

Agora, vamos classificar cada ponto de equilíbrio como estável ou instável. Para isso, vamos analisar o comportamento da derivada em torno desses pontos.
Primeiro, derivamos a função em relação a :
A estabilidade de um ponto de equilíbrio depende do sinal de nesse ponto:
  • Se , o ponto é estável.
  • Se , o ponto é instável.
Vamos avaliar em cada ponto:
  1. Para :
Como , o ponto é instável.
  1. Para :
Como , o ponto é estável.

Passo 4

Agora, vamos esboçar os gráficos das soluções. Embora não possamos desenhar aqui, vou descrever como seriam esses gráficos no diagrama de fase.
  1. Pontos de Equilíbrio:
    • (unstable): Será representado por um círculo aberto.
    • (estável): Será representado por um círculo preenchido.
  2. Setas Indicando o Comportamento:
    • Para : Como (já que e são positivos), as soluções aumentarão, indo para .
    • Para : Aqui, . Como é negativo e é positivo (pois ), o produto é negativo. Portanto, as soluções diminuem em direção a .
    • Para : Tanto quanto são negativos, então . As soluções aumentam em direção a .
  3. Resumo Visual:
    • As setas à direita de apontam para cima (indo para ).
    • Entre e , as setas apontam para a esquerda (indo para ).
    • À esquerda de , as setas apontam para a direita (indo para ).

Resposta

Os pontos de equilíbrio da equação são (instável) e (estável). No diagrama de fase, é representado por um círculo aberto com setas apontando para longe dele, indicando sua instabilidade. Já é representado por um círculo preenchido com setas apontando para ele, mostrando que é um ponto estável. As soluções da equação se comportam de acordo com esses pontos, aumentando para quando e se aproximando de quando .

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