Esboce o gráfico e determine o período da função
.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão pede: precisamos desenhar o gráfico da função
e determinar o seu período. Para isso, vamos usar conhecimentos sobre transformações de funções trigonométricas, como amplitude, período, deslocamento e o efeito do valor absoluto.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função básica envolvida, que é o cosseno,
. A função
tem um período padrão de
, o que significa que ela se repete a cada
unidades no eixo x.
Passo 3
Agora, observamos que na função dada, o argumento do cosseno é
. Isso pode ser escrito na forma
, onde
e
. O coeficiente
afeta o período da função.
Passo 4
Para encontrar o novo período da função, usamos a fórmula do período para funções trigonométricas:
. Substituindo
, temos:
Portanto, o período da função é
.
Passo 5
Além do período, vamos analisar a amplitude e outras transformações. A função
é multiplicada por 2 dentro do valor absoluto, fazendo com que a amplitude original de 1 passe a ser 2. O sinal negativo na frente de 2 faz com que todo o gráfico seja invertido verticalmente.
Passo 6
O valor absoluto
faz com que todas as partes do cosseno que estavam abaixo do eixo x sejam refletidas para cima, tornando a função não negativa. Combinando todas essas transformações, o gráfico resultante oscilará entre -2 e 0, repetindo-se a cada
unidades no eixo x.
Resposta
O período da função é
.