integral tg^3(x) cos ^4(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui estamos lidando com integração envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar identidades trigonométricas e técnicas de substituição.

Passo 2

Primeiro, vou reescrever a tangente em termos de seno e cosseno para facilitar a manipulação. Lembrando que tan^3(x) = (sin(x)cos(x))^3 = sin^3(x)cos^3(x) , então:

Passo 3

Agora, substituímos isso na integral original:
integral tan^3(x) cos^4(x) , dx = integral sin^3(x)cos^3(x) cdot cos^4(x) , dx

Passo 4

Simplificamos os termos de cosseno:
sin^3(x)cos^3(x) cdot cos^4(x) = sin^3(x) cos^4 - 3(x) = sin^3(x) cos(x)
Então, a integral fica:
integral sin^3(x) cos(x) , dx

Passo 5

Para integrar isso, vamos usar a substituição. Vamos deixar integral u^3 , du , então . Isso simplifica a integral para:

Passo 6

Agora, integramos integral u^3 , du = u^44 + C :

Passo 7

Substituímos sin^4(x)4 + C de volta para :

Resposta

A integral é igual a .

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