As equações abaixo são equações autônomas. Em cada item, determine os pontos de equilíbrio e classifique cada um deles como estável ou instável. Em seguida, esboce diversos gráficos das soluções.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação autônoma que é
, onde
,
e
. A gente vai encontrar os pontos de equilíbrio, que são os valores de
onde a taxa de variação
é zero. Depois, vamos ver se esses pontos são estáveis ou instáveis e desenhar alguns gráficos das soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de equilíbrio. Isso acontece quando
. Então, igualamos a equação a zero:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação para
. Podemos fatorar
:
Isso nos dá duas soluções:
Passo 4
Resolvendo
para
:
Mas lembrando que
e
, então
é negativo. Como estamos considerando
, esse valor negativo não faz sentido no nosso contexto. Então, o único ponto de equilíbrio relevante é
.
Passo 5
Agora, vamos classificar o ponto de equilíbrio
. Para isso, analisamos o sinal de
ao redor de
.
- Se
, então . Como e , isso é positivo. - Se
, o termo pode ser negativo ou positivo, mas como estamos focando em , nos preocupamos apenas com .
Como para
,
, isso significa que a solução vai crescer, ou seja, se afastar de
. Portanto, o ponto de equilíbrio
é instável.
Passo 6
Por fim, vamos esboçar alguns gráficos das soluções. Como o único ponto de equilíbrio é
e ele é instável, qualquer condição inicial
vai fazer
crescer sem limites (já que
e
são positivos).
Então, os gráficos mostrarão
aumentando exponencialmente à medida que o tempo
aumenta.
Resposta
O ponto de equilíbrio é
e ele é instável. As soluções crescem para
aumentando indefinidamente quando
.