As equações abaixo são equações autônomas. Em cada item, determine os pontos de equilíbrio e classifique cada um deles como estável ou instável. Em seguida, esboce diversos gráficos das soluções. d y/d t = a y + b y², a > 0, b > 0, y₀ ≥ 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação autônoma que é , onde , e . A gente vai encontrar os pontos de equilíbrio, que são os valores de onde a taxa de variação é zero. Depois, vamos ver se esses pontos são estáveis ou instáveis e desenhar alguns gráficos das soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de equilíbrio. Isso acontece quando . Então, igualamos a equação a zero:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação para . Podemos fatorar :
Isso nos dá duas soluções:

Passo 4

Resolvendo para :
Mas lembrando que e , então é negativo. Como estamos considerando , esse valor negativo não faz sentido no nosso contexto. Então, o único ponto de equilíbrio relevante é .

Passo 5

Agora, vamos classificar o ponto de equilíbrio . Para isso, analisamos o sinal de ao redor de .
  • Se , então . Como e , isso é positivo.
  • Se , o termo pode ser negativo ou positivo, mas como estamos focando em , nos preocupamos apenas com .
Como para , , isso significa que a solução vai crescer, ou seja, se afastar de . Portanto, o ponto de equilíbrio é instável.

Passo 6

Por fim, vamos esboçar alguns gráficos das soluções. Como o único ponto de equilíbrio é e ele é instável, qualquer condição inicial vai fazer crescer sem limites (já que e são positivos).
Então, os gráficos mostrarão aumentando exponencialmente à medida que o tempo aumenta.

Resposta

O ponto de equilíbrio é e ele é instável. As soluções crescem para aumentando indefinidamente quando .

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