Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite quando
se aproxima de 2 da expressão
.
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com limites, especificamente envolvendo valor absoluto e funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar entender como o valor absoluto funciona e como calcular limites de funções que podem ter diferentes comportamentos à esquerda e à direita do ponto de interesse.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o valor absoluto
. O valor absoluto muda sua expressão dependendo de
ser maior ou menor que 2:
- Se
: - Se
:
Isso é importante porque o comportamento da função pode ser diferente de cada lado de 2.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o denominador da fração:
. Podemos fatorar esse polinômio para facilitar:
Então, a expressão original fica:
Passo 4
Perceba que
está no numerador e no denominador. Mas atenção: como
pode ser positivo ou negativo dependendo de
, precisamos considerar os casos separadamente.
Caso 1:
Então, a expressão fica:
Caso 2:
Então, a expressão fica:
Passo 5
Agora, vamos calcular os limites de cada caso quando
se aproxima de 2.
Para
se aproximando de 2 pela direita (
):
Para
se aproximando de 2 pela esquerda (
):
Passo 6
Observamos que os limites laterais são diferentes:
Resposta
Como os limites pela direita e pela esquerda são diferentes (
e
), o limite
não existe.