lim x 2 |x-2|x^2+x-6

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite quando se aproxima de 2 da expressão .
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com limites, especificamente envolvendo valor absoluto e funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar entender como o valor absoluto funciona e como calcular limites de funções que podem ter diferentes comportamentos à esquerda e à direita do ponto de interesse.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o valor absoluto . O valor absoluto muda sua expressão dependendo de ser maior ou menor que 2:
  • Se :
  • Se :
Isso é importante porque o comportamento da função pode ser diferente de cada lado de 2.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o denominador da fração: x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2) . Podemos fatorar esse polinômio para facilitar:
|x - 2|(x + 3)(x - 2)
Então, a expressão original fica:

Passo 4

Perceba que |x - 2| = x - 2 está no numerador e no denominador. Mas atenção: como x - 2(x + 3)(x - 2) = 1x + 3 pode ser positivo ou negativo dependendo de |x - 2| = 2 - x = -(x - 2) , precisamos considerar os casos separadamente.
Caso 1: -(x - 2)(x + 3)(x - 2) = -1x + 3
Então, a expressão fica:
Caso 2:
Então, a expressão fica:

Passo 5

Agora, vamos calcular os limites de cada caso quando limx to 2^+ 1x + 3 = 12 + 3 = 15 se aproxima de 2.
Para limx to 2^- -1x + 3 = -12 + 3 = -15 se aproximando de 2 pela direita ( ):
Para se aproximando de 2 pela esquerda ( ):

Passo 6

Observamos que os limites laterais são diferentes:
limx to 2^+ |x - 2|x^2 + x - 6 = 15 e limx to 2^- |x - 2|x^2 + x - 6 = -15

Resposta

Como os limites pela direita e pela esquerda são diferentes ( e ), o limite não existe.

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