Nos problemas abaixo, achar a solução do problema de valor inicial proposto. Enunciar o intervalo no qual a soluçào encontrada é válida. y' + y = 1/(1 + x^2), y(0) = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo linear de primeira ordem. A equação é com a condição inicial . Para resolver isso, vamos precisar usar o método do fator integrante, que ajuda a simplificar e resolver esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, identificamos os coeficientes na equação geral da forma . Aqui, e .

Passo 3

Vamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
Esse fator vai nos ajudar a tornar a equação fácil de integrar.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Isso simplifica a equação da forma de uma derivada do produto.

Passo 5

A equação agora pode ser escrita como a derivada de :
Isso facilita a integração dos dois lados.

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a :
Aqui, é a constante de integração.

Passo 7

A integral não tem uma solução em termos de funções elementares, mas podemos deixá-la expressa assim para fins de solução geral.

Passo 8

Resolvendo para :
Agora aplicamos a condição inicial para encontrar .

Passo 9

Aplicando :
Então, .

Passo 10

A solução final é:
Onde a integral representa a solução particular da equação diferencial.

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
Essa solução é válida para todo real, ou seja, no intervalo .

Exercícios relacionados