Nos problemas abaixo, achar a solução do problema de valor inicial proposto. Enunciar o intervalo no qual a soluçào encontrada é válida. y' + y = 1/(1 + x^2), y(0) = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo linear de primeira ordem. A equação é com a condição inicial . Para resolver isso, vamos precisar usar o método do fator integrante, que ajuda a simplificar e resolver esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, identificamos os coeficientes na equação geral da forma . Aqui, e .

Passo 3

Vamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
Esse fator vai nos ajudar a tornar a equação fácil de integrar.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Isso simplifica a equação da forma de uma derivada do produto.

Passo 5

A equação agora pode ser escrita como a derivada de :
Isso facilita a integração dos dois lados.

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a :
Aqui, é a constante de integração.

Passo 7

A integral não tem uma solução em termos de funções elementares, mas podemos deixá-la expressa assim para fins de solução geral.

Passo 8

Resolvendo para :
Agora aplicamos a condição inicial para encontrar .

Passo 9

Aplicando :
Então, .

Passo 10

A solução final é:
Onde a integral representa a solução particular da equação diferencial.

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
Essa solução é válida para todo real, ou seja, no intervalo .

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(Equaçōes de Bernuolli) São as equações do tipo y' + p(x) y = q(x) y''. Vimos que a substiuição v = y^(1-n) reduz a equaçâo de Bernoulli a uma equação linear. Resolva as equaçōes de Bernoulli abaixo:
c) y' = a*y - b*y^3, a > 0, b > 0.
(a) xy + 16 = 0, P(-2, 8)
(b) y^2 - 4 x^2 = 5, P(-1, 3)
© 2 x^3 - x^2 y + y^3 - 1 = 0, P(2, -3)
(d) 3y^4 + 4x - x^2 sen(y) - 4 = 0, P(1,0)
(e) x^2 y + sen(y) = 2 pi, P(1, 2 pi)
(f) x y^2 + 3 y = 27, P(2,3)
Usando a regra da cadeia, calcule as derivadas a seguir.
(a) f(x)=e^(3 x)
(Equaçōes de Bernuolli) São as equações do tipo y' + p(x) y = q(x) y''. Vimos que a substiuição v = y^(1-n) reduz a equaçâo de Bernoulli a uma equação linear. Resolva as equaçōes de Bernoulli abaixo:
a) x^2 y' + 2 x y - y^3 = 0;