Nos problemas abaixo, achar a solução do problema de valor inicial proposto. Enunciar o intervalo no qual a soluçào encontrada é válida.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo linear de primeira ordem. A equação é
com a condição inicial
. Para resolver isso, vamos precisar usar o método do fator integrante, que ajuda a simplificar e resolver esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, identificamos os coeficientes na equação geral da forma
. Aqui,
e
.
Passo 3
Vamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Esse fator vai nos ajudar a tornar a equação fácil de integrar.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Isso simplifica a equação da forma de uma derivada do produto.
Passo 5
A equação agora pode ser escrita como a derivada de
:
Isso facilita a integração dos dois lados.
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a
:
Aqui,
é a constante de integração.
Passo 7
A integral
não tem uma solução em termos de funções elementares, mas podemos deixá-la expressa assim para fins de solução geral.
Passo 8
Resolvendo para
:
Agora aplicamos a condição inicial para encontrar
.
Passo 9
Aplicando
:
Então,
.
Passo 10
A solução final é:
Onde a integral representa a solução particular da equação diferencial.
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
Essa solução é válida para todo
real, ou seja, no intervalo
.
Exercícios relacionados
(Equaçōes de Bernuolli) São as equações do tipo
. Vimos que a substiuição
reduz a equaçâo de Bernoulli a uma equação linear. Resolva as equaçōes de Bernoulli abaixo:
c) .
c)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
Usando a regra da cadeia, calcule as derivadas a seguir.
(a)
(a)
(Equaçōes de Bernuolli) São as equações do tipo
. Vimos que a substiuição
reduz a equaçâo de Bernoulli a uma equação linear. Resolva as equaçōes de Bernoulli abaixo:
a) ;
a)